试题

（2012·内江模拟）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，-3），
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为9，若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由；
（3）在（2）的情况下，P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于Q点，求线段PQ长度的最大值．

解：（1）由A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点的坐标，
代入y=ax²+bx+c得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
故抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在，
如图1，设D（a，a²-2a-3），过点D 作DE⊥x轴于E
则S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，
=

1

2

×3×1+

1

2

a（-a²+2a+3+3）+

1

2

（-a²+2a+3）（3-a），
=-

3

2

a2+

9

2

a+6，
由S_{四边形ACDB}=9得，
-

3

2

a2+

9

2

a+6=9，
解得a₁=2，a₂=1，
当a=2，a²-2a-3=-3，
当a=1，a²-2a-3=-4，
则D（2，-3）或D（1，-4）；

（3）由于点D存在两种情形，则也有两种情形
①如图2，当D（2，-3）时，A（-1，0），
代入y=ax+b得：

-a+b=0 2a+b=-3

，
解得：

a=-1 b=-1

，
故直线AD的解析式为：y=-x-1，
可设P（m，-m-1）；则Q（m，m²-2m-3），
则PQ=-（m²-2m-3）-m-1=-m²+m+2=-（m-

1

2

） ²+

9

4

，
此时PQ的最大值为

9

4

，
②如图3，当D（1，-4）时，可求得直线AD的解析式为：y=-2x-2，
可设P（m，-2m-2）；则Q（m，m²-2m-3），
则PQ=-（m²-2m-3）-2m-2=-m²+1，
此时PQ的最大值为1．
解：（1）由A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点的坐标，
代入y=ax²+bx+c得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
故抛物线解析式为：y=x²-2x-3；

（2）存在，
如图1，设D（a，a²-2a-3），过点D 作DE⊥x轴于E
则S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OCDE+S_△DEB，
=

1

2

×3×1+

1

2

a（-a²+2a+3+3）+

1

2

（-a²+2a+3）（3-a），
=-

3

2

a2+

9

2

a+6，
由S_{四边形ACDB}=9得，
-

3

2

a2+

9

2

a+6=9，
解得a₁=2，a₂=1，
当a=2，a²-2a-3=-3，
当a=1，a²-2a-3=-4，
则D（2，-3）或D（1，-4）；

（3）由于点D存在两种情形，则也有两种情形
①如图2，当D（2，-3）时，A（-1，0），
代入y=ax+b得：

-a+b=0 2a+b=-3

，
解得：

a=-1 b=-1

，
故直线AD的解析式为：y=-x-1，
可设P（m，-m-1）；则Q（m，m²-2m-3），
则PQ=-（m²-2m-3）-m-1=-m²+m+2=-（m-

1

2

） ²+

9

4

，
此时PQ的最大值为

9

4

，
②如图3，当D（1，-4）时，可求得直线AD的解析式为：y=-2x-2，
可设P（m，-2m-2）；则Q（m，m²-2m-3），
则PQ=-（m²-2m-3）-2m-2=-m²+1，
此时PQ的最大值为1．