试题

（2012·景宁县模拟）已知二次函数y=-x²+4x+5图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，点D是该函数图象上一点，且点D的横坐标为4，连BD，点P是AB上一动点（不与点A重合），过P作PQ⊥AB交射线AD于点Q，以PQ为一边在PQ的右侧作正方形PQMN．设点P的坐标为（t，0）．
（1）求点B，C，D的坐标及射线AD的解析式；
（2）在AB上是否存在点P，使△OCM为等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的边长；若不存在，请说明理由；
（3）设正方形PQMN与△ABD重叠部分面积为s，求s与t的函数关系式．

解：（1）当x=0时，y=5，则C点坐标为（0，5），
当y=0时，-x²+4x+5=0，
解得（x+1）（x-5）=0，
x₁=-1；x₂=5．
则A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）．
将x=4代入y=-x²+4x+5得，y=-16+16+5=5，
则D点坐标为（4，5）．
设AD的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），D（4，5）分别代入解析式y=kx+b得，

-k+b=0 4k+b=5

，
解得

k=1 b=1

，
函数解析式为y=x+1（x≥-1）．（2分）

（2）∵直线AD的解析式为：y=x+1，且P（t，0）．
∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）
当MC=MO时：t+1=

5

2

，
∴边长为

5

2

．…（1分）
当OC=OM时：（2t+1）²+（t+1）²=5²
解得t1=-

3

5

-

2 31

5

（舍去），t1=-

3

5

+

2 31

5

∴边长为t+1=

2

5

+

2 31

5

．…（2分）
当CO=CM时：（2t+1）²+（4-t）²=5²
解得t1=

2+2 11

5

，t2=

2-2 11

5

．
∴边长为t+1=

7+2 11

5

．
或t+1=t2=

7-2 11

5

…（2分）

（3）当1＜t≤

19

11

时，正方形的边长为（t+1），故其面积为：s=（t+1）²；…（1分）
当

19

11

≤t≤2时：s=-

111

10

t2+

219

5

t-

351

5

；…（1分）
当2≤t≤4时：s=-

11

10

t2+

19

5

t+

49

10

；…（1分）
当4≤t≤5时：s=

5

2

t2-25t+

125

2

．…（1分）
解：（1）当x=0时，y=5，则C点坐标为（0，5），
当y=0时，-x²+4x+5=0，
解得（x+1）（x-5）=0，
x₁=-1；x₂=5．
则A点坐标为（-1，0），B点坐标为（5，0）．
将x=4代入y=-x²+4x+5得，y=-16+16+5=5，
则D点坐标为（4，5）．
设AD的解析式为y=kx+b，
把A（-1，0），D（4，5）分别代入解析式y=kx+b得，

-k+b=0 4k+b=5

，
解得

k=1 b=1

，
函数解析式为y=x+1（x≥-1）．（2分）

（2）∵直线AD的解析式为：y=x+1，且P（t，0）．
∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）
当MC=MO时：t+1=

5

2

，
∴边长为

5

2

．…（1分）
当OC=OM时：（2t+1）²+（t+1）²=5²
解得t1=-

3

5

-

2 31

5

（舍去），t1=-

3

5

+

2 31

5

∴边长为t+1=

2

5

+

2 31

5

．…（2分）
当CO=CM时：（2t+1）²+（4-t）²=5²
解得t1=

2+2 11

5

，t2=

2-2 11

5

．
∴边长为t+1=

7+2 11

5

．
或t+1=t2=

7-2 11

5

…（2分）

（3）当1＜t≤

19

11

时，正方形的边长为（t+1），故其面积为：s=（t+1）²；…（1分）
当

19

11

≤t≤2时：s=-

111

10

t2+

219

5

t-

351

5

；…（1分）
当2≤t≤4时：s=-

11

10

t2+

19

5

t+

49

10

；…（1分）
当4≤t≤5时：s=

5

2

t2-25t+

125

2

．…（1分）