试题

（2012·惠山区一模）如图，直角梯形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（

1

2

，0）、（2，0）和（2，3），AB∥CD，∠C=90°，CD=CB．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c过原点O与点（7，1），且对称轴为过点（4，3）与y轴平行的直线，求抛物线的函数关系式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在一点P，使得PA+PB+PC+PD最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵AB∥CD，C（2，3），
∴点D的纵坐标是3，
∵CD=CB，B（2，0），
∴点D到y轴的距离为3-2=1，
又∵点D在第二象限，
∴点D的坐标为D（-1，3）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
由题意得：

49a+7b+c=1 c=0 - b 2a =4

，
解得

a=- 1 7 b= 8 7 c=0

，
所以，抛物线解析式为y=-

1

7

x²+

8

7

x；

（3）存在一点P（1，1），使得PA+PB+PC+PD．
理由如下：显然AC、BD的交点Q满足QA+QB+QC+QD最小，
设直线AC解析式为y=mx+n，
∵A（

1

2

，0），C（2，3），
∴

1 2 m+n=0 2m+n=3

，
解得

m=2 n=-1

，
∴直线AC的解析式为y=2x-1，
设直线BD的解析式为y=ex+f，
∵B（2，0），D（-1，3），
∴

2e+f=0 -e+f=3

，
解得

e=-1 f=2

，
∴直线BD的解析式为y=-x+2，
联立

y=2x-1 y=-x+2

，
解得

x=1 y=1

，
∴Q（1，1），
当x=1时，y=-

1

7

x²+

8

7

x=1，
∴点Q在此抛物线上，
∴存在点P（1，1）使得PA+PB+PC+PD最小．
解：（1）∵AB∥CD，C（2，3），
∴点D的纵坐标是3，
∵CD=CB，B（2，0），
∴点D到y轴的距离为3-2=1，
又∵点D在第二象限，
∴点D的坐标为D（-1，3）；

（2）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
由题意得：

49a+7b+c=1 c=0 - b 2a =4

，
解得

a=- 1 7 b= 8 7 c=0

，
所以，抛物线解析式为y=-

1

7

x²+

8

7

x；

（3）存在一点P（1，1），使得PA+PB+PC+PD．
理由如下：显然AC、BD的交点Q满足QA+QB+QC+QD最小，
设直线AC解析式为y=mx+n，
∵A（

1

2

，0），C（2，3），
∴

1 2 m+n=0 2m+n=3

，
解得

m=2 n=-1

，
∴直线AC的解析式为y=2x-1，
设直线BD的解析式为y=ex+f，
∵B（2，0），D（-1，3），
∴

2e+f=0 -e+f=3

，
解得

e=-1 f=2

，
∴直线BD的解析式为y=-x+2，
联立

y=2x-1 y=-x+2

，
解得

x=1 y=1

，
∴Q（1，1），
当x=1时，y=-

1

7

x²+

8

7

x=1，
∴点Q在此抛物线上，
∴存在点P（1，1）使得PA+PB+PC+PD最小．