试题

（2012·黄陂区模拟）如图1，抛物线y=ax²+bx+c与坐标轴分别交于A（-3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）D是抛物线的顶点，P是x轴下方的抛物线上的一点，若∠PBA=∠CBD，求点P的坐标；
（3）连接DC并延长交x轴于E点（如图2）．若将抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段DE总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少个单位长度？

解：（1）把（-3，0）（1，0）（0，3）代入y=ax²+bx+c可得

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）连接CD，过C点作CH⊥BD于H．
∵y=-x²-2x+3；
∴顶点D的坐标是（-1，4），
∵B（1，0）、C（0，3），
∴BC=

10

，BD=2

5

，CD=

2

，
设DH=x，BP交y轴于F，
在Rt△DCH中，CH²=DC²-DH²，
在Rt△HBC中，CH²=CB²-BH²，
∴DC²-DH²=CB²-BH²，
∴(

2

)2-x2=(

10

)2-(2

5

-x)2，
∴x=

3 5

5

，
∴BH=BD-DH=2

5

-

3 5

5

=

7 5

5

．
在Rt△BCH中，CH=

BC2-BH2

=

5

5

．
∵∠FBO=∠CBH，
∴Rt△FBO∽Rt△CBH，
∴

OF

OB

=

CH

BH

，
即

OF

1

=

5 5

7 5 5

=

1

7

，
∴OF=

1

7

．
∵B（1，0），
可得直线BP的解析式为y=

1

7

x-

1

7

．
解方程组

y= 1 7 x- 1 7 y=-x2-2x+3

，
得

x1=1 y1=0.

x2=- 22 7 y2=- 29 49 .

∴P(-

22

7

，-

29

49

)；

（3）①若抛物线沿其对称轴向下平移m（m＞0）个单位．
∴y=-x²-2x+3-m，
∵直线CD：y=-x+3，
由

y=-x+3 y=-x2-2x+3-m.

消去y，得x²+x+m=0．
要使抛物线与线段DE总有交点，必须△=1-4m≥0，
得m≤

1

4

．
∴0＜m≤

1

4

．
∴若抛物线向下平移，最多可平移

1

4

个单位长度．
②当y=0，-x+3=0得x=3，
∴E（3，0），
若抛物线沿其对称轴向上平移n（n＞0）个单位，
∴y=-x²-2x+3+n．
∴当x=3，y=n-12．
要使抛物线与线段DE总有交点，必须n-12≤0，
∴n≤12．
∴0＜n≤12．
∴若抛物线向上平移，最多可平移12个单位长度．
综上可知，抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段DE总有公共点，则向上最多可平移12个单位长度，向下最多可平移

1

4

个单位长度．
解：（1）把（-3，0）（1，0）（0，3）代入y=ax²+bx+c可得

9a-3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=-2 c=3

，
∴y=-x²-2x+3；

（2）连接CD，过C点作CH⊥BD于H．
∵y=-x²-2x+3；
∴顶点D的坐标是（-1，4），
∵B（1，0）、C（0，3），
∴BC=

10

，BD=2

5

，CD=

2

，
设DH=x，BP交y轴于F，
在Rt△DCH中，CH²=DC²-DH²，
在Rt△HBC中，CH²=CB²-BH²，
∴DC²-DH²=CB²-BH²，
∴(

2

)2-x2=(

10

)2-(2

5

-x)2，
∴x=

3 5

5

，
∴BH=BD-DH=2

5

-

3 5

5

=

7 5

5

．
在Rt△BCH中，CH=

BC2-BH2

=

5

5

．
∵∠FBO=∠CBH，
∴Rt△FBO∽Rt△CBH，
∴

OF

OB

=

CH

BH

，
即

OF

1

=

5 5

7 5 5

=

1

7

，
∴OF=

1

7

．
∵B（1，0），
可得直线BP的解析式为y=

1

7

x-

1

7

．
解方程组

y= 1 7 x- 1 7 y=-x2-2x+3

，
得

x1=1 y1=0.

x2=- 22 7 y2=- 29 49 .

∴P(-

22

7

，-

29

49

)；

（3）①若抛物线沿其对称轴向下平移m（m＞0）个单位．
∴y=-x²-2x+3-m，
∵直线CD：y=-x+3，
由

y=-x+3 y=-x2-2x+3-m.

消去y，得x²+x+m=0．
要使抛物线与线段DE总有交点，必须△=1-4m≥0，
得m≤

1

4

．
∴0＜m≤

1

4

．
∴若抛物线向下平移，最多可平移

1

4

个单位长度．
②当y=0，-x+3=0得x=3，
∴E（3，0），
若抛物线沿其对称轴向上平移n（n＞0）个单位，
∴y=-x²-2x+3+n．
∴当x=3，y=n-12．
要使抛物线与线段DE总有交点，必须n-12≤0，
∴n≤12．
∴0＜n≤12．
∴若抛物线向上平移，最多可平移12个单位长度．
综上可知，抛物线沿其对称轴上、下平移，使抛物线与线段DE总有公共点，则向上最多可平移12个单位长度，向下最多可平移

1

4

个单位长度．