试题

（2012·洪山区模拟）在以点O为坐标原点的平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+4ax+3a与轴交于A、B两点（OA＞OB）与y轴负半轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线x=m与抛物线交于点D，与线段AC交于点E，当线段DE的长取最大值时，求m的值和DE的长；
（3）设⊙0₁经过A、O、C三点，点M为弧AO上一点．求

MC-MA

MO

值．

解：（1）由ax²+4ax+3a=0（a≠0），
可解得，x₁=-1，x₂=-3；
∵OA＞OB，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∴OC=3OB=3，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴C（0，-3），
∴3a=-3，a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²-4x-3；

（2）∵A（-3，0），C（0，-3），
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
易得，D（m，-m²-4m-3），E（m，-m-3），
∵抛物线开口向下，点E在AC之间，
∴-3＜m＜0，
∴DE=（-m²-4m-3）-（-m-3）
=-m²-3m=-（m+

3

2

）²+

9

4

，
∴当m=-

3

2

时，DE的长取最大值，最大值为

9

4

；

（3）在MC上截取N，使CN=AM，
易证，△CON≌△AOM（SAS），
∴ON=OM，△OMN为等腰直角三角形，故MN=

2

MO，
∴

MC-MA

MO

=

MC-NC

MO

=

MN

MO

=

2

．
解：（1）由ax²+4ax+3a=0（a≠0），
可解得，x₁=-1，x₂=-3；
∵OA＞OB，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∴OC=3OB=3，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴C（0，-3），
∴3a=-3，a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x²-4x-3；

（2）∵A（-3，0），C（0，-3），
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
易得，D（m，-m²-4m-3），E（m，-m-3），
∵抛物线开口向下，点E在AC之间，
∴-3＜m＜0，
∴DE=（-m²-4m-3）-（-m-3）
=-m²-3m=-（m+

3

2

）²+

9

4

，
∴当m=-

3

2

时，DE的长取最大值，最大值为

9

4

；

（3）在MC上截取N，使CN=AM，
易证，△CON≌△AOM（SAS），
∴ON=OM，△OMN为等腰直角三角形，故MN=

2

MO，
∴

MC-MA

MO

=

MC-NC

MO

=

MN

MO

=

2

．