试题

（2008·上虞市模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，△ABO是直角三角形，∠ABO=90°，OA=5，OB=2

5

，将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得△A₁B₁O，连接BB₁交x轴于点C．
（1）分别求出点A₁、B、B₁的坐标；
（2）若抛物线y=3x²+bx+c经过A₁，C两点，求此抛物线的解析式；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△PA₁C与△BOC相似（其中P的对应点为B）？若存在，请你求出P点的坐标，并说明理由．

（本题满分14分）
解：（1）由题意A（0，5）△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的A₁点坐标为（5，0），
在Rt△AOB中，AB=

OA2-OB2

=

5

，
过B作BD⊥x轴于D点，
△ABO∽△ODB
∴

BD

OD

=

OB

AB

=

2 5

5

=2
OB=

OD2+BD2

=2

5

∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的B₁点坐标为（4，-2）；

（2）由连接BB₁交x轴于点C，可得C点坐标为（

10

3

，0）．（6分）
因抛物线y=3x²+bx+c经过A₁，C两点，
则此抛物线的解析式为y=3(x-

10

3

)(x-5)；（8分）

（3）在x轴下方的抛物线上存在点P，使得△PA₁C与△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B₁A₁C∽△BOC可证，
而B₁（4，-2）在抛物线y=3(x-

10

3

)(x-5)上，
∴P点即B₁点；（12分）
又由抛物线的对称性可知，点（4

1

3

，-2）也满足条件．（14分）
（本题满分14分）
解：（1）由题意A（0，5）△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的A₁点坐标为（5，0），
在Rt△AOB中，AB=

OA2-OB2

=

5

，
过B作BD⊥x轴于D点，
△ABO∽△ODB
∴

BD

OD

=

OB

AB

=

2 5

5

=2
OB=

OD2+BD2

=2

5

∴OD=2，BD=4，
∴B（2，4）
△ABO绕原点O顺时针旋转90°后得到的B₁点坐标为（4，-2）；

（2）由连接BB₁交x轴于点C，可得C点坐标为（

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，0）．（6分）
因抛物线y=3x²+bx+c经过A₁，C两点，
则此抛物线的解析式为y=3(x-

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3

)(x-5)；（8分）

（3）在x轴下方的抛物线上存在点P，使得△PA₁C与△BOC相似．（9分）
理由如下：∵△B₁A₁C∽△BOC可证，
而B₁（4，-2）在抛物线y=3(x-

10

3

)(x-5)上，
∴P点即B₁点；（12分）
又由抛物线的对称性可知，点（4

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，-2）也满足条件．（14分）