试题

（2009·莆田二模）已知：直角梯形ABCO以O为原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立坐标系，其中AB=10，OA=40，∠OCB=45°．
（1）求过O、B、C三点的抛物线解析式；
（2）在抛物线BC段上存在一点D，使得△ACD面积最大？若存在，请求出D点坐标，并求最大面积；
（3）动点F从A向B运动速度为1，E从C到O点运动速度为3，几秒后使得EF平分梯形ABCO的面积，并求出直线EF的解析式．

解：（1）过B作BB′⊥x轴于B′
∴B（10，40）
在Rt△BB’C中
tan45°=

BB′

B′C

即BB'=B'C=40
∴C（50，0）设y=ax²+bx+c
∴

0=2500a+50b+c 40=100a+10b+c 0=c

解得

a=- 1 10 b=5 c=0

∴y=-

1

10

x²+5x

（2）设直线AC解析式为y=kx+b

0=50k+b 40=b

∴

k=- 4 5 b=40

y=-

4

5

x+40
过D作DD'∥y轴交直线于D'点
设D（x，-

1

10

x²+5x）则D'（x，-

4

5

x+40）
则S_△ACD=

(- 1 10 x2+5x+ 4 5 x-40)×50

2

=-

5

2

x²+145x-1000
∵a=-

5

2

＜0
∴S_△ACD有最大值
∴当x=

145

2×(- 5 2 )

=29时S_△ACD最大=1102.5
当x=29
时，-

1

10

x²+5x=60.9
∴此时D（29，60.9）

（3）设时间为t，0≤t≤10
依题意得：
F（t，40）EM（50-30t，0），

(AN+OM)·OA

2

=

1

2

×

(AB+OC)·OA

2

即：

(t+50-30t)×40

2

=

1

2

×

(10+50)×40

2

50-2t=30
t=10
即：F（10，40）E（20，0）时，MN把梯形面积平分．
设EF解析式为y=k₁x+b₁则有：

10k1+b1=40 20k1+b1=0

解得：

k1=-2 b1=60

∴直线EF解析式为y=-2x+60．
解：（1）过B作BB′⊥x轴于B′
∴B（10，40）
在Rt△BB’C中
tan45°=

BB′

B′C

即BB'=B'C=40
∴C（50，0）设y=ax²+bx+c
∴

0=2500a+50b+c 40=100a+10b+c 0=c

解得

a=- 1 10 b=5 c=0

∴y=-

1

10

x²+5x

（2）设直线AC解析式为y=kx+b

0=50k+b 40=b

∴

k=- 4 5 b=40

y=-

4

5

x+40
过D作DD'∥y轴交直线于D'点
设D（x，-

1

10

x²+5x）则D'（x，-

4

5

x+40）
则S_△ACD=

(- 1 10 x2+5x+ 4 5 x-40)×50

2

=-

5

2

x²+145x-1000
∵a=-

5

2

＜0
∴S_△ACD有最大值
∴当x=

145

2×(- 5 2 )

=29时S_△ACD最大=1102.5
当x=29
时，-

1

10

x²+5x=60.9
∴此时D（29，60.9）

（3）设时间为t，0≤t≤10
依题意得：
F（t，40）EM（50-30t，0），

(AN+OM)·OA

2

=

1

2

×

(AB+OC)·OA

2

即：

(t+50-30t)×40

2

=

1

2

×

(10+50)×40

2

50-2t=30
t=10
即：F（10，40）E（20，0）时，MN把梯形面积平分．
设EF解析式为y=k₁x+b₁则有：

10k1+b1=40 20k1+b1=0

解得：

k1=-2 b1=60

∴直线EF解析式为y=-2x+60．