试题

（2009·瓯海区一模）如图，抛物线y=ax²+bx+c交坐标轴于点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求此抛物线函数解析式及顶点M的坐标；
（2）若直线CM与x轴交于点D，E是C关于此抛物线对称轴的对称点，试判断四边形ADCE的形状并说明理由；
（3）若P是该抛物线上异于A、B两点的一个动点，连接BP交y轴正半轴于点N，是否存在点P使△AOC与△BON相似？若存在请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由．

解：
（1）把点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²+bx+c得：

0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c

解得：

a=1 b=-2 c=-3

∴抛物线函数解析式为y=x²-2x-3（3分）
顶点M的坐标为（1，-4）（4分）

（2）∵点C（0，-3），M（1，-4）
∴直线CM函数解析式为y=-x-3
∴直线CM与x轴交于点D（-3，0），（6分）
∵E是C关于此抛物线对称轴的对称点，
∴点E（2，-3）
∴CE=AD=2，
又∵CE∥AD
∴四边形ADCE是平行四边形．（8分）

（3）存在点P使△AOC与△BON相似，P₁（-

4

3

，

13

9

），P₂（-4，21）．（12分）
解：
（1）把点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入抛物线y=ax²+bx+c得：

0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c

解得：

a=1 b=-2 c=-3

∴抛物线函数解析式为y=x²-2x-3（3分）
顶点M的坐标为（1，-4）（4分）

（2）∵点C（0，-3），M（1，-4）
∴直线CM函数解析式为y=-x-3
∴直线CM与x轴交于点D（-3，0），（6分）
∵E是C关于此抛物线对称轴的对称点，
∴点E（2，-3）
∴CE=AD=2，
又∵CE∥AD
∴四边形ADCE是平行四边形．（8分）

（3）存在点P使△AOC与△BON相似，P₁（-

4

3

，

13

9

），P₂（-4，21）．（12分）