试题

（2009·江干区模拟）如图，二次函数y=ax²-5ax+4a （a≠0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点C关于抛物线对称轴的对称点为D．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）若AD⊥BC，垂足为P，求二次函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，连接BD，若直线y=x+m把△ABD的面积分为1：3的两部分，求m的值．

解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴ax²-5ax+4a=0（1分）
∵a≠0，
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（3分）
∴A（1，0），B（4，0）．（4分）

（2）（方法一）连接AC、CD，由对称性知：四边形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA，
在△ABC与△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠1=∠2（6分）
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1，
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．（10分）
（方法二）∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D，
∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB（6分）
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．（10分）
（3）∵直线y=x+m与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x+m平行于AD，
设直线y=x+m交AB于E，交BD于F，
∴△BEF∽△BAD，
当S_△BEF：S_△BAD=1：4，
∴BE：BA=1：2，
∴BE=

3

2

，AE=3-

3

2

=

3

2

，
∴E点坐标为（

5

2

，0），
把E（

5

2

，0）代入y=x+m，得

5

2

+m=0，
∴m=-

5

2

，
当S_△BEF：S_△BAD=3：4，
∴BE：BA=

3

：2，
∴BE=

3 3

2

，
∴AE=3-

3 3

2

∴E点坐标为（4-

3 3

2

，0），
把E（4-

3 3

2

，0）代入y=x+m，得4-

3 3

2

+m=0，
∴m=-4+

3 3

2

．
所以m的值为-

5

2

或-4+

3 3

2

．
解：（1）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
∴ax²-5ax+4a=0（1分）
∵a≠0，
∴x²-5x+4=0，
解得x₁=1，x₂=4（3分）
∴A（1，0），B（4，0）．（4分）

（2）（方法一）连接AC、CD，由对称性知：四边形ABDC是等腰梯形，
∴∠CAB=∠DBA，
在△ABC与△BAD中，
AC=BD，∠CAB=∠DBA，AB=BA，
∴△ABC≌△BAD，
∴∠1=∠2（6分）
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1，
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．（10分）
（方法二）∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D，
∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB（6分）
∵AD⊥BC，
∴∠1=∠2=45°，
∵∠BOC=90°，
∴∠OCB=∠1=45°，
∴OC=OB=4，
∴C（0，4）（8分）
把C（0，4）的坐标代入y=ax²-5ax+4a，
得4a=4，
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x²-5x+4．（10分）
（3）∵直线y=x+m与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x+m平行于AD，
设直线y=x+m交AB于E，交BD于F，
∴△BEF∽△BAD，
当S_△BEF：S_△BAD=1：4，
∴BE：BA=1：2，
∴BE=

3

2

，AE=3-

3

2

=

3

2

，
∴E点坐标为（

5

2

，0），
把E（

5

2

，0）代入y=x+m，得

5

2

+m=0，
∴m=-

5

2

，
当S_△BEF：S_△BAD=3：4，
∴BE：BA=

3

：2，
∴BE=

3 3

2

，
∴AE=3-

3 3

2

∴E点坐标为（4-

3 3

2

，0），
把E（4-

3 3

2

，0）代入y=x+m，得4-

3 3

2

+m=0，
∴m=-4+

3 3

2

．
所以m的值为-

5

2

或-4+

3 3

2

．