试题

（2008·湛江三模）如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P到x轴的距离是4，与x轴交于0、M两点，OM=4，矩形ABCD的边BC在线段OM上，点A、D在抛物线上．
（1）请写出P、M两点坐标，并求这条抛物线的解析式；
（2）当矩形ABCD的周长为最大值时，将矩形绕它的中心顺时针方向旋转90°，求点D的坐标；
（3）连接OP，请判断在抛物线上是否存在点Q（除点M外）使△OPQ是等腰三角形？若存在，写出点Q到y轴的距离；若不存在，说明理由．

解：（1）根据题意，得P（2，4），M（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，
过点M（4，0），
则4a+4=0，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）²+4=4x-x²；

（2）设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
矩形ABCD的周长=2（BC+CD），
=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10，
当x=1时，矩形ABCD的周长的最大值=10，
此时，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
∴矩形的中心坐标为（2，1.5），
∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
∴点D的坐标为（3.5，2.5）；

（3）存在．
若OP当底，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，
如图，设OP的中点为E，OP的垂直平分线交x轴于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
∵P（2，4），
∴点E的坐标是（1，2），G点的坐标是G（1，0），
∴OE=

22+12

=

5

，OG=1，
∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
∴△OEG∽△OFE，
∴

OF

OE

=

OE

OG

，
即

OF

5

=

5

1

，
解得OF=5，
∴点F的坐标为（5，0），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

，
∴

y=-x2+4x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得x=

9± 41

4

，
∴点Q到y轴的距离是

9+ 41

4

或

9- 41

4

．
解：（1）根据题意，得P（2，4），M（4，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-2）²+4，
过点M（4，0），
则4a+4=0，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）²+4=4x-x²；

（2）设C（x，0），
则B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
矩形ABCD的周长=2（BC+CD），
=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10，
当x=1时，矩形ABCD的周长的最大值=10，
此时，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
∴矩形的中心坐标为（2，1.5），
∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
∴点D的坐标为（3.5，2.5）；

（3）存在．
若OP当底，则点Q即为OP的垂直平分线和抛物线的交点，
如图，设OP的中点为E，OP的垂直平分线交x轴于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
∵P（2，4），
∴点E的坐标是（1，2），G点的坐标是G（1，0），
∴OE=

22+12

=

5

，OG=1，
∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
∴△OEG∽△OFE，
∴

OF

OE

=

OE

OG

，
即

OF

5

=

5

1

，
解得OF=5，
∴点F的坐标为（5，0），
设直线EF的解析式为y=kx+b，
则

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

，
∴

y=-x2+4x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得x=

9± 41

4

，
∴点Q到y轴的距离是

9+ 41

4

或

9- 41

4

．