试题

（2012·大东区一模）如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3），抛物线的顶点为P，连接AC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S_△MAP=2S_△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴y=a（x+1）（x-3），
又∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴a（0+1）（0-3）=-3，
∴a=1
∴y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3，
用其他解法参照给分；

（2）∵点A（-1，0），点C（0，-3），
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA=90°，
∵OC⊥x轴，
∴∠COA=∠COQ=90°，∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠DCO=∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴

OQ

OC

=

OC

OA

，即

OQ

3

=

3

1

，
∴OQ=9，
又∵点Q在x轴的正半轴上，
∴Q（9，0），
设直线QC的解析式为：y=mx+n，则

n=-3 9m+n=0

，
解得

m= 1 3 n=-3

，
∴直线QC的解析式为：y=

1

3

x-3，
∵点D是抛物线与直线QC的交点，
∴

y= 1 3 x-3 y=x2-2x-3

，
解得：

x1= 7 3 y1=- 20 9

，

x2=0 y2=-3

（不合题意，应舍去），
∴点D（

7

3

，-

20

9

），
用其他解法参照给分；

（3）如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，
设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，
∴E（1，0），
∵A（-1，0），
∴AE=2，
∵抛物线y=x²-2x-3的顶点为P，对称轴为x=1，
∴P（1，-4），
∴PE=4，
则PM=|y+4|，
∵S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC
=

1

2

×1×（3+4）+

1

2

×1×3
=

1

2

×（7+3）
=5，
又∵S_{四边形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP，
S_△AEP=

1

2

AE×PE=

1

2

×2×4=4，
∴S_△ACP=5-4=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴

1

2

×2×|y+4|=2×1，
∴|y+4|=2，
∴y₁=-2，y₂=-6，
故抛物线的对称轴上存在点M使S_△MAP=2S_△ACP，点M的坐标为（1，-2）或（1，-6）．
解：（1）设此抛物线的解析式为：y=a（x-x₁）（x-x₂），
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，
∴y=a（x+1）（x-3），
又∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴a（0+1）（0-3）=-3，
∴a=1
∴y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3，
用其他解法参照给分；

（2）∵点A（-1，0），点C（0，-3），
∴OA=1，OC=3，
∵DC⊥AC，
∴∠DCO+∠OCA=90°，
∵OC⊥x轴，
∴∠COA=∠COQ=90°，∠OAC+∠OCA=90°，
∴∠DCO=∠OAC，
∴△QOC∽△COA，
∴

OQ

OC

=

OC

OA

，即

OQ

3

=

3

1

，
∴OQ=9，
又∵点Q在x轴的正半轴上，
∴Q（9，0），
设直线QC的解析式为：y=mx+n，则

n=-3 9m+n=0

，
解得

m= 1 3 n=-3

，
∴直线QC的解析式为：y=

1

3

x-3，
∵点D是抛物线与直线QC的交点，
∴

y= 1 3 x-3 y=x2-2x-3

，
解得：

x1= 7 3 y1=- 20 9

，

x2=0 y2=-3

（不合题意，应舍去），
∴点D（

7

3

，-

20

9

），
用其他解法参照给分；

（3）如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，
设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，
∴E（1，0），
∵A（-1，0），
∴AE=2，
∵抛物线y=x²-2x-3的顶点为P，对称轴为x=1，
∴P（1，-4），
∴PE=4，
则PM=|y+4|，
∵S_{四边形AEPC}=S_{四边形OEPC}+S_△AOC
=

1

2

×1×（3+4）+

1

2

×1×3
=

1

2

×（7+3）
=5，
又∵S_{四边形AEPC}=S_△AEP+S_△ACP，
S_△AEP=

1

2

AE×PE=

1

2

×2×4=4，
∴S_△ACP=5-4=1，
∵S_△MAP=2S_△ACP，
∴

1

2

×2×|y+4|=2×1，
∴|y+4|=2，
∴y₁=-2，y₂=-6，
故抛物线的对称轴上存在点M使S_△MAP=2S_△ACP，点M的坐标为（1，-2）或（1，-6）．