试题

（2011·中山区一模）如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点为A、B（A在B的右边），与y轴正半轴交于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，抛物线的对称轴为直线l交CD于点M，交x轴于点N，四边形CDAN是平行四边形．
（1）若a=-1，c=

1

2

，求b的值；
（2）若a=-1，求b与c的关系；
（3）抛物线y=ax²+bx+c的顶点为P，求PM：OC的值．

解：（1）∵a=-1，c=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+

1

2

，
∴C（0，

1

2

），
∵点N在对称轴上，
∴N（

b

2

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，

1

2

），四边形CDAN为平行四边形，
∴AN=CD=b，
∴A（

3b

2

，0），
∴-（-

3b

2

）²+

3b

2

·b+

1

2

=0，
b=±

6

3

，
∵-

b

2a

＞0，
∴b=

6

3

；

（2）∵a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（

b

2

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=b，
∴A（

3b

2

，0），
∴-（-

3b

2

）²+

3b

2

·b+c=0，
∴4c=3b²；

（3）∵抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（-

b

2a

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（-

b

a

，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=-

b

a

，
∴A（-

3b

2a

，0），
∴-（-

3b

2a

）²+

3b

2a

·b+c=0，
4ac=-3b²；
∵P为抛物线的顶点，∴P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴PM=

4ac-b2

4a

-c=-

b2

4a

，
∴

PM

OC

=

- b2 4a

c

=-

b2

4ac

=

b2

3b2

=

1

3

．
解：（1）∵a=-1，c=

1

2

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+

1

2

，
∴C（0，

1

2

），
∵点N在对称轴上，
∴N（

b

2

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，

1

2

），四边形CDAN为平行四边形，
∴AN=CD=b，
∴A（

3b

2

，0），
∴-（-

3b

2

）²+

3b

2

·b+

1

2

=0，
b=±

6

3

，
∵-

b

2a

＞0，
∴b=

6

3

；

（2）∵a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（

b

2

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（b，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=b，
∴A（

3b

2

，0），
∴-（-

3b

2

）²+

3b

2

·b+c=0，
∴4c=3b²；

（3）∵抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∴C（0，c），
∵点N在对称轴上，
∴N（-

b

2a

，0），
∵抛物线具有对称性，
∴D（-

b

a

，c），
四边形CDAN为平行四边形，∴AN=CD=-

b

a

，
∴A（-

3b

2a

，0），
∴-（-

3b

2a

）²+

3b

2a

·b+c=0，
4ac=-3b²；
∵P为抛物线的顶点，∴P（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∴PM=

4ac-b2

4a

-c=-

b2

4a

，
∴

PM

OC

=

- b2 4a

c

=-

b2

4ac

=

b2

3b2

=

1

3

．