试题

（2009·武汉模拟）已知抛物线y=ax²-2ax+b与x轴交于点A（3，0），与y轴相交于点B（0，-

9

4

）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为抛物线上的点，且在第二象限，若△POA的面积等于△POB的面积的2倍，求点P的坐标；
（3）如图2，C为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点D使△DAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的D点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+b过A（3，0），B（0，-

9

4

），
∴0=9a-6a+b-

9

4

=b，
解得a=

3

4

，b=-

9

4

，
∴抛物线解析式为y=

3

4

x2-

3

2

x-

9

4

．

（2）（x_p，y_p），△PDA的面积为S₁，△POB的面积为S₂，
∵A（3，0），B（0，-

9

4

），
∴OA=3，OB=

9

4

，
∴S₁=

1

2

OA·|y_p|=

3

2

|y_p|，S₂=

1

2

OB·|x_p|=

9

8

|x_p|，3分
∵P点在第二象限，
∴S₁=

3

2

y_p，S₂=-

9

8

x_p，
∵S₁=2s₂
∴y_p=-

3

2

x_p，
∵点P在抛物线上，
∴y_p=

3

4

x_p²-

3

2

x_p-

9

4

，
-

3

2

x_p=

3

4

x_p²-

3

2

x_p-

9

4

，
解得，x_p=

3

（舍去），x_p=-

3

，
当x_p=-

3

时，y_P=

3

2

3

，
∴点P的坐标为（-

3

，

3 3

2

）．

（3）∵C为抛物线的顶点，
∴C点的坐标为（1，-3），过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，则CE=1，CG=3，
要使△ADC为直角三角形，分三种情况讨论：
①以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF，则HF为直角梯形OECA的中位线，HF=

1

2

（EC+OA）=2，即圆心H到y轴的距离为2，
在Rt△CGA中，
∵CG=3，AG=2，
∴AC=

13

，AH=

13

2

，
∵

13

2

＜2，
∴y轴与⊙H相离，
∴y轴上不存在符合条件的D点．
②以CD为斜边，过点A作AD₁⊥AC交y轴于点D₁，
∵∠D₁AO+∠OAC=90°，∠GCA+∠GAC=90°，
∴∠D₁AO=∠ACG，
∵AO=CG，
∴Rt△D₁A0≌Rt△ACG，
∴D₁O=AG=2，
∴y轴上存在点D₁（0，2）使△D₁AC为直角三角形．
③以AD为斜边，过点C作CD₂⊥AC交y轴于点D₂，
∵∠D₂CA=90°，∠GCE=90°，
∴∠D₂GE=∠ACG，
∴Rt△ACG∽Rt△D₂CE，
∴

ED2

CE

=

GA

CG

=

2

3

，
∵CE=1，
∴ED₂=

2

3

，
∵OE=3，
∴OD₂=OE-ED₂=

7

3

，
∴y轴上存在点D₂（0，-

7

3

）使△D₂AC为直角三角形．
解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+b过A（3，0），B（0，-

9

4

），
∴0=9a-6a+b-

9

4

=b，
解得a=

3

4

，b=-

9

4

，
∴抛物线解析式为y=

3

4

x2-

3

2

x-

9

4

．

（2）（x_p，y_p），△PDA的面积为S₁，△POB的面积为S₂，
∵A（3，0），B（0，-

9

4

），
∴OA=3，OB=

9

4

，
∴S₁=

1

2

OA·|y_p|=

3

2

|y_p|，S₂=

1

2

OB·|x_p|=

9

8

|x_p|，3分
∵P点在第二象限，
∴S₁=

3

2

y_p，S₂=-

9

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x_p，
∵S₁=2s₂
∴y_p=-

3

2

x_p，
∵点P在抛物线上，
∴y_p=

3

4

x_p²-

3

2

x_p-

9

4

，
-

3

2

x_p=

3

4

x_p²-

3

2

x_p-

9

4

，
解得，x_p=

3

（舍去），x_p=-

3

，
当x_p=-

3

时，y_P=

3

2

3

，
∴点P的坐标为（-

3

，

3 3

2

）．

（3）∵C为抛物线的顶点，
∴C点的坐标为（1，-3），过点C作CE⊥y轴于点E，CG⊥x轴于点G，则CE=1，CG=3，
要使△ADC为直角三角形，分三种情况讨论：
①以AC为斜边，则D在以AC为直径的圆上，取AC的中点H，OE的中点F，连接HF，则HF为直角梯形OECA的中位线，HF=

1

2

（EC+OA）=2，即圆心H到y轴的距离为2，
在Rt△CGA中，
∵CG=3，AG=2，
∴AC=

13

，AH=

13

2

，
∵

13

2

＜2，
∴y轴与⊙H相离，
∴y轴上不存在符合条件的D点．
②以CD为斜边，过点A作AD₁⊥AC交y轴于点D₁，
∵∠D₁AO+∠OAC=90°，∠GCA+∠GAC=90°，
∴∠D₁AO=∠ACG，
∵AO=CG，
∴Rt△D₁A0≌Rt△ACG，
∴D₁O=AG=2，
∴y轴上存在点D₁（0，2）使△D₁AC为直角三角形．
③以AD为斜边，过点C作CD₂⊥AC交y轴于点D₂，
∵∠D₂CA=90°，∠GCE=90°，
∴∠D₂GE=∠ACG，
∴Rt△ACG∽Rt△D₂CE，
∴

ED2

CE

=

GA

CG

=

2

3

，
∵CE=1，
∴ED₂=

2

3

，
∵OE=3，
∴OD₂=OE-ED₂=

7

3

，
∴y轴上存在点D₂（0，-

7

3

）使△D₂AC为直角三角形．