试题

（2009·通州区二模）已知二次函数y=ax²-2ax+b（a≠0）的图象与x轴分别交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C，直线y=-x+b经过点B、C，且B点坐标为（3，0）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，使得以点P、B、C、A为顶点的四边形是梯形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）把B（3，0）代入y=-x+b，
∴b=3，
∴C点坐标为（0，3），
把B（3，0）代入y=ax²-2ax+3，
∴a=-1，（1分）
∴二次函数解析式为y=-x²+2x+3．（2分）

（2）当AP₁∥CB时，直线过点A（-1，0），
设AP₁所在直线解析式为y=-x+b，
把点A代入b=-1，
∴P₁点坐标是（0，-1）．（3分）
当P₂B∥AC时，设AC所在直线为y=kx+b，
把点A（-1，0），C（0，3）代入得

k=3 b=3

，
∴AC所在直线为y=3x+3，
又∵P₂B过点B（3，0），设P₂B所在直线为y=kx+b，
∴P₂B所在直线为y=3x-9，
∴P₂点坐标是（0，-9），（5分）
综上所述存在这样的点P使得以P、B、C、A为顶点的四边形是梯形，
点P的坐标是（0，-1），（0，-9）．（6分）
解：（1）把B（3，0）代入y=-x+b，
∴b=3，
∴C点坐标为（0，3），
把B（3，0）代入y=ax²-2ax+3，
∴a=-1，（1分）
∴二次函数解析式为y=-x²+2x+3．（2分）

（2）当AP₁∥CB时，直线过点A（-1，0），
设AP₁所在直线解析式为y=-x+b，
把点A代入b=-1，
∴P₁点坐标是（0，-1）．（3分）
当P₂B∥AC时，设AC所在直线为y=kx+b，
把点A（-1，0），C（0，3）代入得

k=3 b=3

，
∴AC所在直线为y=3x+3，
又∵P₂B过点B（3，0），设P₂B所在直线为y=kx+b，
∴P₂B所在直线为y=3x-9，
∴P₂点坐标是（0，-9），（5分）
综上所述存在这样的点P使得以P、B、C、A为顶点的四边形是梯形，
点P的坐标是（0，-1），（0，-9）．（6分）