试题

（2010·鲤城区质检）已知直线y=x+4与y轴交于点C，与x轴交于点A．
（1）求线段AC的长度；
（2）若抛物线y=-

1

2

x2+bx+c过点C、A，且与x轴交于另一点B，将直线AC沿y轴向下平移m个单位长度，若平移后的直线与x轴交于点D，与抛物线交于点N（N在抛物线对称轴的左边），与直线BC交于点E．
①是否存在这样的m，使得△CAD是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
②在直线AC平移的过程中，是否存在m值，使得△CDE的面积最大．若存在，请求出m值，若不存在，请说明理由．

解：（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4）（1分）
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0）（2分）
在Rt△AOC中，OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=

OA2+OC2

=

42+42

=4

2

．（3分）

（2）①抛物线经过点A、C，则：

- 1 2 ×(-4)2-4b+c=0 c=4

，
解得

b=-1 c=4

；
∴抛物线所对应的函数关系式为y=-

1

2

x2-x+4；（4分）
∵△CAD是以AC为底的等腰三角形，
∴点D在AC的垂直平分线上，
此时点D与原点重合，即D（0，0），（5分）
∴m=OC=4；
则平移后的直线所对应的函数关系式为y=x，（6分）
∵点N是抛物线y=-

1

2

x2-x+4与直线y=x的交点，
∴设点N（a，a），
则a=-

1

2

a2-a+4，
解得a=-2±2

3

；
∵点N在抛物线对称轴的左侧，
∴N（-2-2

3

，-2-2

3

）；（7分）
②设△CDE的面积为S，
在y=-

1

2

x2-x+4中，令y=0，
解得x=-4或x=2，
∴B（2，0），AB=6，
当点D在点B的左侧时，即当0＜m≤6时（如图），
平移后的直线为y=x+4-m，
当y=0时，x=m-4．
∴D（m-4，0），
∴BD=2-（m-4）=6-m；（8分）
过点E作EF⊥AB于点F，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴

EF

OC

=

BD

BA

，∴

EF

4

=

6-m

6

，
解得EF=

12-2m

3

；（9分）
∴S=S△BCD-S△BDE=

1

2

·(6-m)×4-

1

2

·(6-m)·

12-2m

3

=-

1

3

m2+2m=-

1

3

(m-3)2+3；
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线m=3，
∵顶点（3，3）的横坐标在范围0＜m≤6内，
∴当m=3，S有最大值为3；（10分）
当点D在点B的右侧时，即当m＞6时（如图），
平移后的直线所对应的函数关系式为y=x+4-m，
当y=0时，x=m-4，
∴D（m-4，0），
∴BD=m-4-2=m-6；
过点E作EG⊥AB于点G，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴

EG

OC

=

BD

BA

，∴

EG

4

=

m-6

6

，
解得EG=

2m-12

3

；（11分）
∴S=S△BCD+S△BDE=

1

2

·(m-6)×4+

1

2

·(m-6)·

2m-12

3

=

1

3

m2-2m=

1

3

(m-3)2-3；
∴抛物线开口向上，对称轴为m=3，
∵在抛物线对称轴的右侧，S随着m的增大而增大，
∴当m＞6时，S没有最大值；（12分）
综上得，在直线AC平移的过程中，存在m值，当m=3，S有最大值为3，使得△CDE的面积最大．（13分）
解：（1）当x=0时，y=4，
∴C（0，4）（1分）
当y=0时，x=-4，
∴A（-4，0）（2分）
在Rt△AOC中，OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=

OA2+OC2

=

42+42

=4

2

．（3分）

（2）①抛物线经过点A、C，则：

- 1 2 ×(-4)2-4b+c=0 c=4

，
解得

b=-1 c=4

；
∴抛物线所对应的函数关系式为y=-

1

2

x2-x+4；（4分）
∵△CAD是以AC为底的等腰三角形，
∴点D在AC的垂直平分线上，
此时点D与原点重合，即D（0，0），（5分）
∴m=OC=4；
则平移后的直线所对应的函数关系式为y=x，（6分）
∵点N是抛物线y=-

1

2

x2-x+4与直线y=x的交点，
∴设点N（a，a），
则a=-

1

2

a2-a+4，
解得a=-2±2

3

；
∵点N在抛物线对称轴的左侧，
∴N（-2-2

3

，-2-2

3

）；（7分）
②设△CDE的面积为S，
在y=-

1

2

x2-x+4中，令y=0，
解得x=-4或x=2，
∴B（2，0），AB=6，
当点D在点B的左侧时，即当0＜m≤6时（如图），
平移后的直线为y=x+4-m，
当y=0时，x=m-4．
∴D（m-4，0），
∴BD=2-（m-4）=6-m；（8分）
过点E作EF⊥AB于点F，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴

EF

OC

=

BD

BA

，∴

EF

4

=

6-m

6

，
解得EF=

12-2m

3

；（9分）
∴S=S△BCD-S△BDE=

1

2

·(6-m)×4-

1

2

·(6-m)·

12-2m

3

=-

1

3

m2+2m=-

1

3

(m-3)2+3；
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线m=3，
∵顶点（3，3）的横坐标在范围0＜m≤6内，
∴当m=3，S有最大值为3；（10分）
当点D在点B的右侧时，即当m＞6时（如图），
平移后的直线所对应的函数关系式为y=x+4-m，
当y=0时，x=m-4，
∴D（m-4，0），
∴BD=m-4-2=m-6；
过点E作EG⊥AB于点G，
由DE∥AC，得∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△BAC，
∴

EG

OC

=

BD

BA

，∴

EG

4

=

m-6

6

，
解得EG=

2m-12

3

；（11分）
∴S=S△BCD+S△BDE=

1

2

·(m-6)×4+

1

2

·(m-6)·

2m-12

3

=

1

3

m2-2m=

1

3

(m-3)2-3；
∴抛物线开口向上，对称轴为m=3，
∵在抛物线对称轴的右侧，S随着m的增大而增大，
∴当m＞6时，S没有最大值；（12分）
综上得，在直线AC平移的过程中，存在m值，当m=3，S有最大值为3，使得△CDE的面积最大．（13分）