试题

（2010·静安区二模）如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y相交于点C，点D在线段AC上，与y轴平行的直线DE与二次函数图象相交于点E，∠CDO=∠OED，求点D的坐标．

解：（1）设二次函数解析式为y=ax²，
∵点A（3，3）在二次函数图象上，
∴3=9a，（1分）
∴a=

1

3

，
∴二次函数解析式为y=

1

3

x2，（2分）
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点A和点B（6，0），
∴

3=3k+b 0=6k+b

，（3分）
∴

k=-1 b=6

；（4分）
∴一次函数解析式为y=-x+6；（5分）

（2）∵DE∥y轴，
∴∠COD=∠ODE，
∵∠CDO=∠OED，
∴△CDO∽△OED，（6分）
∴

DE

DO

=

DO

CO

，
∴DO²=DE·CO；（7分）
设点D的坐标为（m，-m+6），
∴点E的坐标为（m，

1

3

m2），（8分）
∴OD²=m²+（m-6）²=2m²-12m+36，DE=-m+6-

1

3

m2；（9分）
∵点C（0，6），
∴CO=6；
∴2m²-12m+36=6（-m+6-

1

3

m2），（10分）
∴4m²-6m=0，
∴m₁=0（不符题意，舍去），m₂=

3

2

，（11分）
∴点D的坐标为（

3

2

，

9

2

）．（12分）
解：（1）设二次函数解析式为y=ax²，
∵点A（3，3）在二次函数图象上，
∴3=9a，（1分）
∴a=

1

3

，
∴二次函数解析式为y=

1

3

x2，（2分）
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵一次函数的图象经过点A和点B（6，0），
∴

3=3k+b 0=6k+b

，（3分）
∴

k=-1 b=6

；（4分）
∴一次函数解析式为y=-x+6；（5分）

（2）∵DE∥y轴，
∴∠COD=∠ODE，
∵∠CDO=∠OED，
∴△CDO∽△OED，（6分）
∴

DE

DO

=

DO

CO

，
∴DO²=DE·CO；（7分）
设点D的坐标为（m，-m+6），
∴点E的坐标为（m，

1

3

m2），（8分）
∴OD²=m²+（m-6）²=2m²-12m+36，DE=-m+6-

1

3

m2；（9分）
∵点C（0，6），
∴CO=6；
∴2m²-12m+36=6（-m+6-

1

3

m2），（10分）
∴4m²-6m=0，
∴m₁=0（不符题意，舍去），m₂=

3

2

，（11分）
∴点D的坐标为（

3

2

，

9

2

）．（12分）