试题

（2010·集美区模拟）已知：抛物线y=x²+（m-1）x+m-2与x轴相交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点，且x₁＜1＜x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）记抛物线与y轴的交点为C，P（x₃，m）是线段BC上的点，过点P的直线与抛物线交于点Q（x₄，y₄），若四边形POCQ是平行四边形，求抛物线所对应的函数关系式．

解：（1）解法一：∵抛物线开口向上，当x=1时，y＜0，
即：1+（m-1）+（m-2）＜0，
解得：m＜1，
则m的取值范围是m＜1；
解法二：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
由求根公式可得：x₁=-1，x₂=2-m，
∵x₁＜1＜x₂，
∴2-m＞1，
解得：m＜1，
∴m的取值范围是m＜1；

（2）解法一：由（1）可得B点坐标为：（2-m，0），C点坐标为：（0，m-2），
代入y=kx+b，得：

b=m-2 0=k(2-m)+m-2

，
解得：

k=1 b=m-2

，
故直线BC所对应的函数关系式为：y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：m=x₃+m-2，
解得：x₃=2，
∵四边形POCQ是平行四边形，∴PQ⊥x轴，
∴x₄=2，
y₄=4+2（m-1）+m-2=3m，
PQ=OC=m-y₄=m-3m=-2m=2-m，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x²-3x-4，
解法二：直线BC所对应的函数解析式为y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：x₃=2，
求出OP方程：y=

m

2

x，
∵CQ∥OP，可求出CQ方程：y=

m

2

x+m-2，

mx

2

+m-2=x²+（m-1）x+m-2，
解得：x₄=1-

m

2

，
由1-

m

2

=x₃=2，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x²-3x-4．
解：（1）解法一：∵抛物线开口向上，当x=1时，y＜0，
即：1+（m-1）+（m-2）＜0，
解得：m＜1，
则m的取值范围是m＜1；
解法二：∵△=（m-1）²-4（m-2）=（m-3）²，
由求根公式可得：x₁=-1，x₂=2-m，
∵x₁＜1＜x₂，
∴2-m＞1，
解得：m＜1，
∴m的取值范围是m＜1；

（2）解法一：由（1）可得B点坐标为：（2-m，0），C点坐标为：（0，m-2），
代入y=kx+b，得：

b=m-2 0=k(2-m)+m-2

，
解得：

k=1 b=m-2

，
故直线BC所对应的函数关系式为：y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：m=x₃+m-2，
解得：x₃=2，
∵四边形POCQ是平行四边形，∴PQ⊥x轴，
∴x₄=2，
y₄=4+2（m-1）+m-2=3m，
PQ=OC=m-y₄=m-3m=-2m=2-m，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x²-3x-4，
解法二：直线BC所对应的函数解析式为y=x+m-2，
以P（x₃，m）代入求得：x₃=2，
求出OP方程：y=

m

2

x，
∵CQ∥OP，可求出CQ方程：y=

m

2

x+m-2，

mx

2

+m-2=x²+（m-1）x+m-2，
解得：x₄=1-

m

2

，
由1-

m

2

=x₃=2，
解得：m=-2，
可得抛物线所对应的函数解析式为：y=x²-3x-4．