试题

（2010·奉贤区二模）已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2），直线y=-

2

3

x与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax²+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-

2

3

x上，
∴-2=-

2

3

x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、D、O；
∴

16a+4b+c=0 c=0 9a+3b+c=-2

，
解得：

a= 2 3 b=- 8 3 c=0

；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=

2

3

x2-

8

3

x；（8分）

（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-

2

3

x，
∴直线AM为y=-

2

3

x+

8

3

；
∴-

2

3

x+

8

3

=

2

3

x2-

8

3

x
解得：x₁=-1，x₂=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，

10

3

）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=

2

3

x2-

8

3

x，
解得：x₁=7，x₂=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，

10

3

）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．
解：（1）∵D在BC上，BC∥x轴，C（0，-2），
∴设D（x，-2）（1分）
∵D在直线y=-

2

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x上，
∴-2=-

2

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x，x=3，（3分）
∴D（3，-2）；（4分）

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A、D、O；
∴

16a+4b+c=0 c=0 9a+3b+c=-2

，
解得：

a= 2 3 b=- 8 3 c=0

；（7分）
故所求的二次函数解析式为y=

2

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x2-

8

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x；（8分）

（3）假设存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形；
①若以OA为底，BC∥x轴，抛物线是轴对称图形，
∴点M的坐标为（1，-2）；（9分）
②若以OD为底，过点A作OD的平行线交抛物线为点M，
∵直线OD为y=-

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x，
∴直线AM为y=-

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x+

8

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；
∴-

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x+

8

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=

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x2-

8

3

x
解得：x₁=-1，x₂=4，（舍去）
∴点M的坐标为（-1，

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）；（11分）
③若以AD为底，过点O作AD的平行线交抛物线为点M，
∵直线AD为y=2x-8，
∴直线OM为y=2x，
∴2x=

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x2-

8

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x，
解得：x₁=7，x₂=0（舍去）；
∴点M的坐标为（7，14）．（12分）
∴综上所述，当点M的坐标为（1，-2）、（-1，

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）、（7，14）时，以O、D、A、M为顶点的四边形是梯形．