试题

（2010·东城区一模）已知抛物线C₁：y=x²-2x的图象如图所示，把C₁的图象沿y轴翻折，得到抛物线C₂的图象，抛物线C₁与抛物线C₂的图象合称图象C₃．
（1）求抛物线C₁的顶点A坐标，并画出抛物线C₂的图象；
（2）若直线y=kx+b与抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切．若直线y=x+b与抛物线C₁相切，求b的值；
（3）结合图象回答，当直线y=x+b与图象C₃有两个交点时，b的取值范围．

解：（1）∵抛物线C₁：y=x²-2x=（x-1）²-1；
∴顶点坐标A（1，-1）．（1分）
图如右图；（2分）

（2）

y=x+b(1) y=x2-2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²-3x-b=0；
△=9+4b=0，b=-

9

4

．（4分）

（3）∵C₁的图象沿y轴翻折，得到抛物线C₂的图象，
∴由题意可得出：抛物线C₂：y=x²+2x，
∴

y=x+b(1) y=x2+2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²+x-b=0；
△=1+4b=0，b=-

1

4

．（6分）
∴当直线y=x+b与图象C₃有两个交点时，b的取值范围为：-

9

4

＜b＜-

1

4

．（7分）
解：（1）∵抛物线C₁：y=x²-2x=（x-1）²-1；
∴顶点坐标A（1，-1）．（1分）
图如右图；（2分）

（2）

y=x+b(1) y=x2-2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²-3x-b=0；
△=9+4b=0，b=-

9

4

．（4分）

（3）∵C₁的图象沿y轴翻折，得到抛物线C₂的图象，
∴由题意可得出：抛物线C₂：y=x²+2x，
∴

y=x+b(1) y=x2+2x(2)

把（1）式代入（2）
整理得：x²+x-b=0；
△=1+4b=0，b=-

1

4

．（6分）
∴当直线y=x+b与图象C₃有两个交点时，b的取值范围为：-

9

4

＜b＜-

1

4

．（7分）