如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（-frac{1}{2}，0），B（2，0），且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状...-青果题库-青果学院

题目：

（2010·北仑区二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴交于A（-

1

2

，0），

B（2，0），且与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
（2）点P是x轴下方的抛物线上一动点，连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，求出使四边形POP′C为菱形的点P的坐标；
（3）在此抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，B，Q四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

答案

解：（1）根据题意，将A（-

1

2

，0），B（2，0）代入y=x²+bx+c中，
解得抛物线的解析式为y=x2-

3

2

x-1，
当x=0时，y=-1．∴点C的坐标为（0，-1）．
∴在△AOC中，AC=

OA2+OC2

=

(

1

2

)2+12

=

5

2

．
在△BOC中，BC=

OB2+OC2

=

22+12

=

5

．
AB=OA+OB=

1

2

+2=

5

2

，
∵AC²+BC²=

5

4

+5=

25

4

=AB²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）设P点坐标为（x，x2-

3

2

x-1），PP′交CO于E，
∵四边形POP′C是菱形，
∴PC=PO．
连接PP′则PE⊥CO于E，青果学院

∴OE=EC=

1

2

，
∴y=-

1

2

．
∴x2-

3

2

x-1=-

1

2

，
解得x₁=

3+

17

4

，x₂=

3-

17

4

，
∴P点的坐标为（

3+

17

4

，-

1

2

）或（

3-

17

4

，-

1

2

）；

（3）存在．由（1）知，AC⊥BC，设Q点坐标为（a，a2-

3

2

a-1），
①若以BC为底边，则BC∥AQ，青果学院

∴∠ABC=∠QAB如图①
过点Q作QE⊥x轴于点E，则有△QAE∽△ABC，
∴

QE

AC

=

AE

BC

∴

a2-

3

2

a-1

5

2

=

a+

1

2

5

，
解得a₁=

5

2

，a₂=-

1

2

（舍去）．
当a=

5

2

时，y=

3

2

，
∴点Q（

5

2

，

3

2

），
②若以AC为底边，则BQ∥AC，
∴∠CAB=∠QBA如图② 青果学院

过点Q作QF⊥x轴于点F，则有△QBF∽△BAC，
∴

QF

BC

=

BF

AC

，
∴

a2-

3

2

a-1

5

=

2-a

5

2

，
解得a₁=-

5

2

，a₂=2（舍去），
当a=-

5

2

时，y=9，
∴点Q（-

5

2

，9），
综上所述，满足题目条件的点Q为（

5

2

，

3

2

）或（-

5

2

，9）．
解：（1）根据题意，将A（-

1

2