试题

（2011·潍城区模拟）如图，已知O是平面直角坐标系的原点，半径为1的⊙B经过点O，且与x、y轴分别交于点A、C，点A的坐标为（-

3

，0），AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D．
（1）求OC的长和∠CAO的度数；
（2）求点D的坐标；
（3）求点A，O，D三点的抛物线的解析式；
（4）在（3）中，点P是抛物线上的一点，试确定点P的位置，使得△AOP的面积与△AOC的面积相等．

解：（1）∵∠COA=90°，
∴AC为直径．
∵⊙B的半径为1，
∴AC=2
∵A（-

3

，0）
∴OA=

3

∴cos∠CAO=

3

2

∴∠CAO=30°
∴OC=

1

2

AC
∴OC=1

（2）连接OB，作DE⊥AO于E，
∴∠DEO=90°
∵DO是⊙B的切线
∴DO⊥BO
∴∠BOD=90°
∵AB=BO
∴∠CAO=∠AOB=30°
∴∠OBD=60°
∴∠BDO=30°
∴BD=2BO=2
在Rt△BOD中由勾股定理，得
DO=

3

∵∠DOE=∠OAD+∠ADO=60°
∴∠ODE=30°
∴OE=

1

2

OD=

3

2

，在Rt△ODE中，由勾股定理，得
DE=

3

2

∴D（

3

2

，

3

2

）

（3）∵OC=1
∴C（0，1）
设抛物线的解析式为y=a（x+

3

）（x-0），由题意，得

3

2

=a（

3

2

+

3

）

3

2

，解得
a=

2

3

∴y=

2

3

（x+

3

）x
y=

2

3

x²+

2 3

3

x

（4）设存在点P，使△AOP的面积与△AOC的面积相等，做PF⊥OA于F
∴这两个三角形OA边上的高也相等，即PF=OC=1
∴当y=1时，
1=

2

3

x²+

2 3

3

x
解得：x₁=

- 3 +3

2

，x₂=

- 3 -3

2

∴P（

- 3 +3

2

，1）或（

- 3 -3

2

，1）
解：（1）∵∠COA=90°，
∴AC为直径．
∵⊙B的半径为1，
∴AC=2
∵A（-

3

，0）
∴OA=

3

∴cos∠CAO=

3

2

∴∠CAO=30°
∴OC=

1

2

AC
∴OC=1

（2）连接OB，作DE⊥AO于E，
∴∠DEO=90°
∵DO是⊙B的切线
∴DO⊥BO
∴∠BOD=90°
∵AB=BO
∴∠CAO=∠AOB=30°
∴∠OBD=60°
∴∠BDO=30°
∴BD=2BO=2
在Rt△BOD中由勾股定理，得
DO=

3

∵∠DOE=∠OAD+∠ADO=60°
∴∠ODE=30°
∴OE=

1

2

OD=

3

2

，在Rt△ODE中，由勾股定理，得
DE=

3

2

∴D（

3

2

，

3

2

）

（3）∵OC=1
∴C（0，1）
设抛物线的解析式为y=a（x+

3

）（x-0），由题意，得

3

2

=a（

3

2

+

3

）

3

2

，解得
a=

2

3

∴y=

2

3

（x+

3

）x
y=

2

3

x²+

2 3

3

x

（4）设存在点P，使△AOP的面积与△AOC的面积相等，做PF⊥OA于F
∴这两个三角形OA边上的高也相等，即PF=OC=1
∴当y=1时，
1=

2

3

x²+

2 3

3

x
解得：x₁=

- 3 +3

2

，x₂=

- 3 -3

2

∴P（

- 3 +3

2

，1）或（

- 3 -3

2

，1）