试题

（2011·沈河区一模）已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于不同的两点A（x₁，0）和B（x₂，0），与y轴的正半轴交于点C．如果x₁、x₂是方程x²-x-6=0的两个根（x₁＜x₂），且点C的坐标为（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）请直接写出直线AC和BC的解析式；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作直线y=m（m为常数），与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）设直线y=kx+2k（k＞0）与线段OC交于点D，与（1）中的抛物线交于点E，若S_△CDE=S_△AOE，请直接写出点E的坐标．

解：（1）解方程x²-x-6=0，
得x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
将A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，

4a-2b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=- 1 2 b= 1 2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+3，

（2）直线AC的解析式：y=

3

2

x+3；（4分）
直线BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）

（3）存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点E（0，m），
由（1）知：|AB|=5，|OC|=3，
∵点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3，由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ=90°，
|PQ|=|PR₁|=|OE|=m，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB．
∴

|PQ|

|AB|

=

|EC|

|OC|

，
即

m

5

=

3-m

3

解得m=

15

8

，
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
∵点P在直线AC上，
∴

2

3

x_P+3=

15

8

，
解得x_P=-

3

4

，
P（-

3

4

，

15

8

），
∴点R₁（-

3

4

，0）．
过点Q作QR₂⊥x轴于点R₂，则∠R₂QP=90°，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴点R₂（

9

8

，0），
所以存在满足条件的点R，他们分别是R₁（-

3

4

，0），R₂（

9

8

，0）；

（4）E（2，2）．（14分）
解：（1）解方程x²-x-6=0，
得x₁=-2，x₂=3，
∴A（-2，0），B（3，0），
将A、B、C三点坐标代入抛物线y=ax²+bx+c，

4a-2b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=- 1 2 b= 1 2 c=3

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

1

2

x+3，

（2）直线AC的解析式：y=

3

2

x+3；（4分）
直线BC的解析式：y=-x+3．（5分）（6分）

（3）存在满足条件的点R，并设直线y=m与y轴的交点E（0，m），
由（1）知：|AB|=5，|OC|=3，
∵点P不与点A、C重合，
∴点E（0，m）不与点O、C重合．
∴0＜m＜3，由于PQ为等腰直角三角形PQR的一腰，
过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ=90°，
|PQ|=|PR₁|=|OE|=m，
∵PQ∥AB，
∴△CPQ∽△CAB．
∴

|PQ|

|AB|

=

|EC|

|OC|

，
即

m

5

=

3-m

3

解得m=

15

8

，
∴P（x_P，

15

8

），Q（x_Q，

15

8

），
∵点P在直线AC上，
∴

2

3

x_P+3=

15

8

，
解得x_P=-

3

4

，
P（-

3

4

，

15

8

），
∴点R₁（-

3

4

，0）．
过点Q作QR₂⊥x轴于点R₂，则∠R₂QP=90°，
同理可求得x_Q=

9

8

，Q（

9

8

，

15

8

）．
∴点R₂（

9

8

，0），
所以存在满足条件的点R，他们分别是R₁（-

3

4

，0），R₂（

9

8

，0）；

（4）E（2，2）．（14分）