试题

（2011·宁阳县一模）已知二次函数y=ax2+bx-

3

2

(a≠0)的图象经过点（1，0），和（-3，0），反比例函数y1=

k

x

（x＞0）的图象经过点（1，2）．
（1）求这两个二次函数的解析式，并在给定的直角坐标系中作出这两个函数的图象；
（2）若反比例函数y1=

k

x

（x＞0）的图象与二次函数y=ax2+bx-

3

2

(a≠0)）的图象在第一象限内交于点A（x₀，y₀），x₀落在两个相邻的正整数之间．请你观察图象写出这两个相邻的正整数；
（3）若反比例函数y2=

k

x

（k＞0，x＞0））的图象与二次函数y=ax2+bx-

3

2

(a≠0)的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标x₀满足2＜x₀＜3，试求实数k的取值范围．

解：（1）把（1，0），和（-3，0）分别代入y =ax2+bx-

3

2

(a≠0)
解方程组，得 a=

1

2

，b=1．…（1分）
∴抛物线解析式为y=

1

2

x2+x-

3

2

…（2分）
∵反比例函数y1=

k

x

的图象经过点（1，2），
∴k=2．∴y1=

2

x

…．…（3分）

（2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象

 …．（4分）
由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2．…（5分）

（3）由函数图象或函数性质可知：当2＜x＜3时，对y=

1

2

x2+x-

3

2

，
y随着x的增大而增大，对y₂=

k

x

（k＞0），y₂随着x的增大而减小．
因为A（x₀，y₀）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，
得y₂＞y．
即

k

2

＞

1

2

×22+2-

3

2

，
解得k＞5．…（6分）
同理，当x₀=3时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，
得y＞y₂，
即

1

2

×32+3-

3

2

＞

k

3

，
解得k＜18．
所以k的取值范围为5＜k＜18．…（7分）
解：（1）把（1，0），和（-3，0）分别代入y =ax2+bx-

3

2

(a≠0)
解方程组，得 a=

1

2

，b=1．…（1分）
∴抛物线解析式为y=

1

2

x2+x-

3

2

…（2分）
∵反比例函数y1=

k

x

的图象经过点（1，2），
∴k=2．∴y1=

2

x

…．…（3分）

（2）正确的画出二次函数和反比例函数在第一象限内的图象

 …．（4分）
由图象可知，这两个相邻的正整数为1与2．…（5分）

（3）由函数图象或函数性质可知：当2＜x＜3时，对y=

1

2

x2+x-

3

2

，
y随着x的增大而增大，对y₂=

k

x

（k＞0），y₂随着x的增大而减小．
因为A（x₀，y₀）为二次函数图象与反比例函数图象的交点，
所以当x₀=2时，由反比例函数图象在二次函数的图象上方，
得y₂＞y．
即

k

2

＞

1

2

×22+2-

3

2

，
解得k＞5．…（6分）
同理，当x₀=3时，由二次函数的图象在反比例函数图象上方的，
得y＞y₂，
即

1

2

×32+3-

3

2

＞

k

3

，
解得k＜18．
所以k的取值范围为5＜k＜18．…（7分）