试题

（2011·闵行区二模）如图，已知：抛物线y=x²+bx-3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，并且OA=OC．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）过点C作CE∥x轴，交抛物线于点E，设抛物线的顶点为点D，试判断△CDE的形状，并说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴l上，且△MCD的面积等于△CDE的面积，请写出点M的坐标（无需写出解题步骤）．

解：（1）当x=0时，得y=-3，
∴C（0，-3），
∵OA=OC，
∴OA=3，即得A（-3，0）．（1分）
由点A在抛物线y=x²+bx-3上，
得9-3b-3=0．解得b=2．（1分）
∴所求抛物线的解析式是y=x²+2x-3．（1分）

（2）由CE∥x轴，C（0，-3），可设点E（m，-3）．
由点E在抛物线y=x²+2x-3上，
得m²+2m-3=-3．
解得m₁=-2，m₂=0．
∴E（-2，-3）．（1分）
又∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴顶点D（-1，-4）．（1分）
∵CD=

(-1-0)2+(-4+3)2

=

2

，ED=

(-1+2)2+(-4+3)2

=

2

，
CE=2，
∴CD=ED，且CD²+ED²=CE²．
∴△CDE是等腰直角三角形．（3分）

（3）M₁（-1，-2），M₂（-1，-6）．（（3分），其中只写出一个得2分）
解：（1）当x=0时，得y=-3，
∴C（0，-3），
∵OA=OC，
∴OA=3，即得A（-3，0）．（1分）
由点A在抛物线y=x²+bx-3上，
得9-3b-3=0．解得b=2．（1分）
∴所求抛物线的解析式是y=x²+2x-3．（1分）

（2）由CE∥x轴，C（0，-3），可设点E（m，-3）．
由点E在抛物线y=x²+2x-3上，
得m²+2m-3=-3．
解得m₁=-2，m₂=0．
∴E（-2，-3）．（1分）
又∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴顶点D（-1，-4）．（1分）
∵CD=

(-1-0)2+(-4+3)2

=

2

，ED=

(-1+2)2+(-4+3)2

=

2

，
CE=2，
∴CD=ED，且CD²+ED²=CE²．
∴△CDE是等腰直角三角形．（3分）

（3）M₁（-1，-2），M₂（-1，-6）．（（3分），其中只写出一个得2分）