试题

（2011·娄底模拟）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0）、B（6，0）、C（0，-2

3

），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点．
（1）求直线AC的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），C（0，-2

3

）代入解析式得，

0=-2k+b -2 3 =b

，
解得

k=- 3 b=-2 3

，
∴y=-

3

x-2

3

；

（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2

3

）三点代入抛物线y=ax²+bx+c得，

0=4a-2b+c 0=36a+6b+c -2 3 =c

，
解得：

a= 3 6 b=- 2 3 3 c=-2 3

，
∴所求抛物线方程为y=

3

6

x2-

2 3

3

x-2

3

；

（3）存在满足条件的点P．
∵抛物线方程为y=

3

6

(x-2)2-

8 3

3

，
∴顶点D的坐标为(2，-

8 3

3

)
要使△BDP的周长最小，只需DP+PB最小，
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′D交直线AC于点P，
∵AC²=16，BC²=48，AB²=64，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴B'P=BP，
∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小，
则此时△BDP的周长最小，
∴点P就是所求的点，
过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B（6，0），C（0，-2

3

），
∴在Rt△BOC中，BC=4

3

，
∵OC∥B′H，B′C=BC，
∴OH=BO=6，
B′H=2OC=4

3

，
∴B′(-6，-4

3

)，
设直线B′D的解析式为y=mx+n，
∵D(2，-

8 3

3

)，B′(-6，-4

3

)在直线B′D上，
∴

-4 3 =-6m+n - 8 3 3 =2m+n

，
∴

m= 3 6 n=-3 3

，
∴y=

3

6

x-3

3

，
∵

y= 3 6 x-3 3 y=- 3 x-2 3

，
∴

x= 6 7 y=- 20 3 7

，
∴P(

6

7

，-

20 3

7

)，
∴在直线AC上存在点P，使得△BDP的周长最小，此时P(

6

7

，-

20 3

7

)．
解：（1）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），C（0，-2

3

）代入解析式得，

0=-2k+b -2 3 =b

，
解得

k=- 3 b=-2 3

，
∴y=-

3

x-2

3

；

（2）把A（-2，0），B（6，0），C（0，-2

3

）三点代入抛物线y=ax²+bx+c得，

0=4a-2b+c 0=36a+6b+c -2 3 =c

，
解得：

a= 3 6 b=- 2 3 3 c=-2 3

，
∴所求抛物线方程为y=

3

6

x2-

2 3

3

x-2

3

；

（3）存在满足条件的点P．
∵抛物线方程为y=

3

6

(x-2)2-

8 3

3

，
∴顶点D的坐标为(2，-

8 3

3

)
要使△BDP的周长最小，只需DP+PB最小，
延长BC到点B′，使B′C=BC，连接B′D交直线AC于点P，
∵AC²=16，BC²=48，AB²=64，
∴AB²=AC²+BC²，
∴BC⊥AC，
∴B'P=BP，
∴DP+BP=DP+B′P=B′D最小，
则此时△BDP的周长最小，
∴点P就是所求的点，
过点B′作B′H⊥AB于点H，
∵B（6，0），C（0，-2

3

），
∴在Rt△BOC中，BC=4

3

，
∵OC∥B′H，B′C=BC，
∴OH=BO=6，
B′H=2OC=4

3

，
∴B′(-6，-4

3

)，
设直线B′D的解析式为y=mx+n，
∵D(2，-

8 3

3

)，B′(-6，-4

3

)在直线B′D上，
∴

-4 3 =-6m+n - 8 3 3 =2m+n

，
∴

m= 3 6 n=-3 3

，
∴y=

3

6

x-3

3

，
∵

y= 3 6 x-3 3 y=- 3 x-2 3

，
∴

x= 6 7 y=- 20 3 7

，
∴P(

6

7

，-

20 3

7

)，
∴在直线AC上存在点P，使得△BDP的周长最小，此时P(

6

7

，-

20 3

7

)．