试题

（2011·河南一模）已知：二次函数y=ax²-2x+c的图象与x轴交于A（-1，0）和B两点（如图），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，E为抛物线顶点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）直线y=-

1

3

x+1交y轴于D点．
①猜想△BCE的形状，并判断它和△BOD是否相似，请说明理由；
②若点M是直线BD下方的抛物线上一个动点，点M运动到什么位置时，△BDM的面积等于△BOE的面积？直接写出所有满足要求的点M的坐标．

解：（1）∵A（-1，0）且对称轴是直线x=1，
∴B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=ax²-2x+c得，

0=a+2+c 0=9a-6+c

，
解得：

a=1 c=-3

，
∴这个二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）①△BCE∽△BOD，理由如下：
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4得E（1，-4）
过E作EF⊥y轴于F，则EF=1．
∵抛物线y=x²-2x-3于y轴交于点C（0，-3），
∴OC=OB=3，CF=4-3=1=EF
∴△CFE和△OBC均是等腰直角三角形，
∴△BCE∽△BOD；
②M（0，-3）；
解：（1）∵A（-1，0）且对称轴是直线x=1，
∴B（3，0），
把A（-1，0），B（3，0）分别代入y=ax²-2x+c得，

0=a+2+c 0=9a-6+c

，
解得：

a=1 c=-3

，
∴这个二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）①△BCE∽△BOD，理由如下：
由y=x²-2x-3=（x-1）²-4得E（1，-4）
过E作EF⊥y轴于F，则EF=1．
∵抛物线y=x²-2x-3于y轴交于点C（0，-3），
∴OC=OB=3，CF=4-3=1=EF
∴△CFE和△OBC均是等腰直角三角形，
∴△BCE∽△BOD；
②M（0，-3）；