试题

题目：
（2011·海沧区质检）已知直线y1=-
3
3
x+
3
与x、y轴分别交于A、B两点，抛物线y2=-
3
3
x2+bx+c青果学院过A、B两点，
①求抛物线的解析式；
②在抛物线上是否存在一点P（除点A外），使点P关于直线y1=-
3
3
x+
3
的对称点Q恰好在x轴上？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标，并求得此时四边形APBQ的面积．
答案
解：①∵直线y1与x、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=
3
，
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，
3
），
∵抛物线y2过A、B两点，
∴
-
3
3
×9+3b+c=0
c=
3
，
解得：
b=
2
3
3
c=
3
，
∴抛物线的解析式为：y=-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
=-
3
3
（x-1）2+
4
3
3
；

（2）如图，过点P作PH⊥OA于H，青果学院
∵OB=
3
，OA=3，
∴tan∠BAO=
OB
OA
=
3
3
，
∴∠BAO=30°，
∵PQ关于AB对称，
∴∠OAP=60°，
设P的坐标为（x，-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
），
∴OH=x，AH=3-x，
∴tan∠OAP=tan60°=
PH
AH
=
-
3
3
x2+
2
3
3
 x+
3
3-x
=
3
，
解得：x=2或x=3（舍去），
∴点P（2，
3
），
∴AP=2，
∴PQ=2，
∵AB=2
3
，
∴S四边形APBQ=
1
2
PQ·AB=
1
2
×2×2
3
=2
3
．
∴存在，点P的坐标为（2，
3
），此时四边形APBQ的面积为2
3
．
解：①∵直线y1与x、y轴分别交于A、B两点，
∴当x=0时，y=
3
，
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），B（0，
3
），
∵抛物线y2过A、B两点，
∴
-
3
3
×9+3b+c=0
c=
3
，
解得：
b=
2
3
3
c=
3
，
∴抛物线的解析式为：y=-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
=-
3
3
（x-1）2+
4
3
3
；

（2）如图，过点P作PH⊥OA于H，青果学院
∵OB=
3
，OA=3，
∴tan∠BAO=
OB
OA
=
3
3
，
∴∠BAO=30°，
∵PQ关于AB对称，
∴∠OAP=60°，
设P的坐标为（x，-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
），
∴OH=x，AH=3-x，
∴tan∠OAP=tan60°=
PH
AH
=
-
3
3
x2+
2
3
3
 x+
3
3-x
=
3
，
解得：x=2或x=3（舍去），
∴点P（2，
3
），
∴AP=2，
∴PQ=2，
∵AB=2
3
，
∴S四边形APBQ=
1
2
PQ·AB=
1
2
×2×2
3
=2
3
．
∴存在，点P的坐标为（2，
3
），此时四边形APBQ的面积为2
3
．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）直线y1与x、y轴分别交于A、B两点，求得A与B的坐标，然后由待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）首先过点P作PH⊥OA于H，由OB=
3
，OA=3，根据tan∠BAO=
OB
OA
，即可求得∠BAO=30°，又由PQ关于AB对称，∠OAB=60°，然后设P的坐标为（x，-
3
3
x2+
2
3
3
x+
3
），即可求得点P的坐标，继而求得此时四边形APBQ的面积．
此题考查了二次函数的综合应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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