试题

（2011·北京二模）已知抛物线y=

1

4

x2-

3

4

mx+k，与直线l：y=x+m的左交点是A，抛物线与y轴相交于点C，直线l与抛物线的对称轴相交于点E．
（1）直接写出抛物线顶点D的坐标（用含m、k的式子表示）；
（2）当m=2，k=-4时，求∠ACE的大小；
（3）是否存在正实数m=k，使得抛物线在直线l下方的一段弧上有且仅有两个点P₁和P₂，且∠A P₁E=∠A P₂E=45°？如果存在，求m的值和点P₁、P₂的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）可用公式法直接求出顶点D的坐标，（

3

2

m，k-

9

16

m2）．

（2）当m=2，k=-4时，
点C（0，-4），
直线DE为x=3，
再由

y=x+2，① y= 1 4 x2- 3 2 x-4．②

代①入②，得x²-10x-24=0，
解得，x₁=-2，x₂=12．
∴点A（-2，0）、点E（3，5）．
设抛物线与x轴的另一交点是B，DE与x轴相交于点F（3，0），
∵CF=AF=EF=BF=5，且△ABE是等腰直角三角形．
∴点A、B、C、E都在⊙F上，∠ACE=∠ABE=45°．

（3）当m=k＞0时，

1

4

x2-

3

4

mx+k=x+m，
得x₁=0，x₂=3m+4＞0．
∴点A（0，m）．
显然，经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P₁（3m，m）．
又∵由题意，点P₂只能有一解，
再结合抛物线的对称性，可知点P₂只能重合于点D．
设DE与AP₁交于点G，
由DG=AG，即m-（k-

9

16

m2）=

3

2

m，
得m=

8

3

．
∴点P₁（8，

8

3

）、点P₂（4，-

4

3

）．
解：（1）可用公式法直接求出顶点D的坐标，（

3

2

m，k-

9

16

m2）．

（2）当m=2，k=-4时，
点C（0，-4），
直线DE为x=3，
再由

y=x+2，① y= 1 4 x2- 3 2 x-4．②

代①入②，得x²-10x-24=0，
解得，x₁=-2，x₂=12．
∴点A（-2，0）、点E（3，5）．
设抛物线与x轴的另一交点是B，DE与x轴相交于点F（3，0），
∵CF=AF=EF=BF=5，且△ABE是等腰直角三角形．
∴点A、B、C、E都在⊙F上，∠ACE=∠ABE=45°．

（3）当m=k＞0时，

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x2-

3

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mx+k=x+m，
得x₁=0，x₂=3m+4＞0．
∴点A（0，m）．
显然，经过点A且平行于x轴的直线与抛物线的另一交点即为点P₁（3m，m）．
又∵由题意，点P₂只能有一解，
再结合抛物线的对称性，可知点P₂只能重合于点D．
设DE与AP₁交于点G，
由DG=AG，即m-（k-

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m2）=

3

2

m，
得m=

8

3

．
∴点P₁（8，

8

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）、点P₂（4，-

4

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）．