试题

（2010·徐汇区二模）已知：如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，以3为半径的⊙B与y轴相切，直线l过点A（-2，0），且和⊙B相切，与y轴相交于点C．
（1）求直线l的解析式；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过点O和B，顶点在⊙B上，求抛物线的解析式；
（3）若点E在直线l上，且以A为圆心，AE为半径的圆与⊙B相切，求点E的坐标．

解：（1）过B作BD垂直l交于点D，
∵⊙B与l相切，
∴BD=3，
在Rt△ADB中，AB=5，AD=

(5)2-(3)2

=4，
在Rt△ACO、Rt△ADB中，cot∠CAO=

4

3

，
∵AO=2，
∴CO=1.5．
设直线l的解析式为y=kx+1.5，A（-2，0）代入
得k=

3

4

，
∴y=

3

4

x+1.5；

（2）过OB的中点F作HF垂直于x轴交⊙B于点H，连接BH．
∵在Rt△HFB中，BH=3，BF=1.5，
HF=

(3)2-(1.5)2

=

3

2

3

，
∴H(

3

2

，-

3

2

3

)，
将O（0，0）、B（3，0）、H(

3

2

，-

3

2

3

)代入y=ax²+bx+c（a＞0），
得y=

2

3

3

x2-2

3

x；

（3）当两圆外切时，AE=2，
作EN⊥x轴于点N．则△AEN∽△ABD，
∴

EN

BD

=

AE

AB

，即

EN

3

=

2

5

，解得：EN=

6

5

，
把y=

6

5

代入y=

3

4

x+1.5得：x=-

2

5

，则E的坐标是：（-

2

5

，

6

5

），
同理，当E在A的左侧时坐标是：（-

18

5

，-

6

5

）；
当两圆内切时，AE=8，同上可求得：E（

22

5

，

24

5

）或（-

42

5

，-

24

5

）．
解：（1）过B作BD垂直l交于点D，
∵⊙B与l相切，
∴BD=3，
在Rt△ADB中，AB=5，AD=

(5)2-(3)2

=4，
在Rt△ACO、Rt△ADB中，cot∠CAO=

4

3

，
∵AO=2，
∴CO=1.5．
设直线l的解析式为y=kx+1.5，A（-2，0）代入
得k=

3

4

，
∴y=

3

4

x+1.5；

（2）过OB的中点F作HF垂直于x轴交⊙B于点H，连接BH．
∵在Rt△HFB中，BH=3，BF=1.5，
HF=

(3)2-(1.5)2

=

3

2

3

，
∴H(

3

2

，-

3

2

3

)，
将O（0，0）、B（3，0）、H(

3

2

，-

3

2

3

)代入y=ax²+bx+c（a＞0），
得y=

2

3

3

x2-2

3

x；

（3）当两圆外切时，AE=2，
作EN⊥x轴于点N．则△AEN∽△ABD，
∴

EN

BD

=

AE

AB

，即

EN

3

=

2

5

，解得：EN=

6

5

，
把y=

6

5

代入y=

3

4

x+1.5得：x=-

2

5

，则E的坐标是：（-

2

5

，

6

5

），
同理，当E在A的左侧时坐标是：（-

18

5

，-

6

5

）；
当两圆内切时，AE=8，同上可求得：E（

22

5

，

24

5

）或（-

42

5

，-

24

5

）．