试题

题目：
青果学院如图，半径为1的半圆O上有两个动点A，B，若AB=1，则四边形ABCD的面积的最大值是
3
3
4
3
3
4
．
答案
3
3
4

青果学院解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，
∵AB=1，⊙O的半径=1，
∴OH=
3
2
，
∵垂线段最短，
∴HF＜OH，
∴HF=
1
2
（AE+BG），
∴S四边形ABCD=S△AOC+S△AOB+S△BOD=
1
2
×1×AE+
1
2
×1×
3
2
+
1
2
×1×BG
=
1
2
AE+
3
4
+
1
2
BG
=
1
2
（AE+BG）+
3
4

=HF+
3
4
≤OH+
3
4
=
3
2
+
3
4
=
3
3
4
．
故答案为：
3
3
4
．
考点梳理
垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，分别过点A、H、B作AE⊥CD、HF⊥CD，BG⊥CD于点E、F、G，根据垂线段线段最短可知HF＜OH，再由梯形的中位线定理可知，HF=
1
2
（AE+BG），进而可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．
压轴题．
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