试题

题目：
青果学院（2012·绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别是：
甲：1、作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点，
2、连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形      
乙：1、以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．
2、连接AB，BC，CA．△ABC即为所求的三角形．
对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）



答案
A
解：根据甲的思路，作出图形如下：
青果学院
连接OB，
∵BC垂直平分OD，
∴E为OD的中点，且OD⊥BC，
∴OE=DE=
1
2
OD，又OB=OD，
在Rt△OBE中，OE=
1
2
OB，
∴∠OBE=30°，又∠OEB=90°，
∴∠BOE=60°，
∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，
又∠BOE为△AOB的外角，
∴∠OAB=∠OBA=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°，
同理∠C=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠BAC=∠C，
∴△ABC为等边三角形，
故甲作法正确；
根据乙的思路，作图如下：
青果学院
连接OB，BD，
∵OD=BD，OD=OB，
∴OD=BD=OB，
∴△BOD为等边三角形，
∴∠OBD=∠BOD=60°，
又BC垂直平分OD，∴OM=DM，
∴BM为∠OBD的平分线，
∴∠OBM=∠DBM=30°，
又OA=OB，且∠BOD为△AOB的外角，
∴∠BAO=∠ABO=30°，
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°，
同理∠ACB=60°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC，
∴△ABC为等边三角形，
故乙作法正确，
故选A
考点梳理
垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
由甲的思路画出相应的图形，连接OB，由BC为OD的垂直平分线，得到OE=DE，且BC与OD垂直，可得出OE为OD的一半，即为OB的一半，在直角三角形BOE中，根据一直角边等于斜边的一半可得出此直角边所对的角为30°，得到∠OBE为30°，利用直角三角形的两锐角互余得到∠BOE为60°，再由∠BOE为三角形AOB的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形；
由乙的思路画出相应的图形，连接OB，BD，由BD=OD，且OB=OD，等量代换可得出三角形OBD三边相等，即为等边三角形，的长∠BOE=∠DBO=60°，由BC垂直平分OD，根据三线合一得到BE为角平分线，可得出∠OBE为30°，又∠BOE为三角形ABO的外角，且OA=OB，利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°，可得出∠ABC为60°，同理得到∠ACB也为60°，利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°，即三角形ABC三内角相等，进而确定三角形ABC为等边三角形，进而得出两人的作法都正确．
此题考查了垂径定理，等边三角形的判定，含30°直角三角形的判定，三角形的外角性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及判定是解本题的关键．
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