试题

题目：
在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，设能完全覆盖△ABC的圆的半径为R．则R的最小值是
65
8
或7.5
65
8
或7.5
．
答案
65
8
或7.5

青果学院解：分两种情况：
①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆，
连接BO，并延长交△ABC的外接圆O于点E，并连接AE，
则∠ACB=∠AEB，
∵∠BAE=∠ADC=90°，
∴△BAE∽△ADC，
∴
BE
AC
=
AB
AD
，
即 BE=
AB
AD
·AC=
15
12
·13=
65
4
，
又∵BE是⊙O的直径，青果学院
∴BO=
1
2
BE=
65
8
；
②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半，
故R=
15
2
=7.5．
故答案为：7.5或
65
8
．
考点梳理
三角形的外接圆与外心；垂径定理．
分两种情况：①如果△ABC是锐角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆必然是△ABC的外接圆．因而求外接圆的半径即可，为此，作过B点作△ABC的外接圆直径BE，连接AE．在△BAE与△ADC中，根据同弧所对的圆周角相等可知∠ACB=∠AEB，因而可证得△BAE∽△ADC．根据相似三角形的性质，求得直径BE的长，那么半径R即可知；②如果△ABC是钝角三角形，那么能完全覆盖△ABC的最小圆为最长边AB的一半．
能够熟练运用正弦定理求得任意三角形外接圆的半径．
分类讨论．
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