试题

题目：
青果学院（2011·威海）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4
2
，则∠AED=
30°
30°
．
答案
30°

青果学院解：连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．
∴DH=CH=
1
2
CD（垂径定理）；
∵CD=4
2
，
∴DH=2
2
；
又∵AE=5，BE=1，
∴AB=6，
∴OA=OD=3（⊙O的半径）；
∴OE=2；
∴在Rt△ODH中，OH=
OD2-DH2
=1（勾股定理）；
在Rt△OEH中，OH=
1
2
OE，
∴∠OEH=30°，
即∠AED=30°．
故答案是：30°．
考点梳理
垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
连接OD，过圆心O作OH⊥CD于点H．根据垂径定理求得DH=CH=
1
2
CD=2
2
；然后根据已知条件“AE=5，BE=1”求得⊙O的直径AB=6，从而知⊙O的半径OD=3，OE=2；最后利用勾股定理求得OH=1，再由30°角所对的直角边是斜边的一半来求∠AED．
本题综合考查了垂径定理、含30°角的直角三角形、勾股定理．解答此题时，借助于辅助线OH，将隐含在题干中的已知条件OH垂直平分CD显现了出来，从而构建了两个直角三角形：Rt△ODH和Rt△OEH，然后根据勾股定理和含30°角的直角三角形的相关知识点来求∠AED的度数．
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