试题

题目：
（2012·牡丹江）已知⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB和CD的距离为
1cm或7cm
1cm或7cm
．
答案
1cm或7cm

青果学院解：如图所示，
如图（一），当AB、CD在圆心O的同侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AF=4cm，CE=3cm，
∴OA=OC=5cm，
∴OE=
OC2-CE2
=
52-32
=4cm，
同理，OF=
OA2-AF2
=
52-42
=3cm，
∴EF=OE-OF=4-3=1cm；
如图（二），当AB、CD在圆心O的异侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，反向延长OE交AB于F，
∵AB∥CD，
∴OE⊥AB，
∵AB=8cm，CD=6cm，
∴AF=4cm，CE=3cm，
∴OA=OC=5cm，
∴OE=
OC2-CE2
=
52-32
=4cm，
同理，OF=
OA2-AF2
=
52-42
=3cm，
∴EF=OE+OF=4+3=7cm．
故答案为：1cm或7cm．
考点梳理
垂径定理；勾股定理．
根据题意画出图形，由于AB、CD的位置不能确定，故应分AB与CD在圆心O的同侧及AB与CD在圆心O的异侧两种情况讨论，如图（一），当AB、CD在圆心O的同侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，根据垂径定理及勾股定理可求出OF及OE的长，再用OE-OF即可求出答案；
如图（二），当AB、CD在圆心O的异侧时，连接OA、OC，过O作OE⊥CD于E，交AB于F，根据垂径定理及勾股定理可求出OF及OE的长，再用OE+OF即可求出答案．
本题考查的是垂径定理及勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
压轴题；分类讨论．
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