试题

（1）如图1，AB为⊙O的直径，直线l交⊙O于C、D，过A、B分别作l的垂线，垂足分别为E、F，经推证，可得出结论EC=DF，证明过程中辅助线的添法是；
（2）上题中，若把l继续向上平行移动，使弦CD与直径AB交于P（P与A、B不重合），在其它条件不变的情况下，请你在图2中将变化后的图形画出来，标好对应字母，并写出与（1）相应成立的结论等式，并判断你写的结论是否成立，若不成立，请说明理由；若成立，请给予证明，结论；
（3）若（2）中⊙O半径为5cm，∠CPB=150°，且AP：BP=7：3，试求弦CD的长度．

解：

（1）过O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（2）EC=DF依然成立，证明过程同（1）
过O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（3）连接OD
∵⊙O的半径为5，AP：BP=7：3，∴AP=7，BP=3，OP=2
∵∠CPB=150°，∴∠OPG=30°
在Rt△OPG中，OG=sin30°×OP=1
在Rt△OGD中，DG=

OD2-OG2

=

52-12

=2

6

故：CD=2DG=4

6

．