试题

题目：
青果学院如图，AB是⊙O直径，BC是弦，OD⊥BC于E交弧BC于D．根据中考改编
（1）请写出四个不同类型的正确结论；
（2）连接CD、DB设∠CDB=α，∠ABC=β，你认为α=β+90°这个结论正确吗？若正确请证明过程．若不正确请说明理由．
答案
青果学院解：（1）OD∥AC、∠C=90°、CE=BE、OE=
1
2
AC、
CD
=
BD
．
（2）α=β+90°正确．
∵ACDB是圆内接四边形
∴α=180°-∠A
∵∠A=90°-β
∴α=180°-（90°-β）=β+90°．
青果学院解：（1）OD∥AC、∠C=90°、CE=BE、OE=
1
2
AC、
CD
=
BD
．
（2）α=β+90°正确．
∵ACDB是圆内接四边形
∴α=180°-∠A
∵∠A=90°-β
∴α=180°-（90°-β）=β+90°．
考点梳理
垂径定理．
（1）可根据直径所对的圆周角是90°，得到∠C=90°，利用垂径定理可知OD垂直平分BC并且平分弦所对的弧，即可写出4个结论（可从线段的位置关系，数量关系，弧长之间的关系，角的度数等来写出正确结论）．
（2）先根据圆内接四边形的性质找到α与∠A之间的数量关系，再根据直角三角形的性质找到∠A和β之间的数量关系，等量代换化简后即可得到α和β之间的数量关系．
解决本题要熟悉圆中的有关性质，并能灵活的贯穿运用．对于找某两个量之间的数量关系时，先找到与其有直接联系的量之间的数量关系，通过数量转换与所求的量之间发生联系后整理即可求解．
证明题；开放型．
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