试题

如图，半径为2

5

的⊙O内有互相垂直的两条弦AB，CD相交于P点，
（1）设BC的中点为F，连接FP并延长交AD于E，求证：EF⊥AD；
（2）若AB=8，CD=6，求OP的长．

（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠CPB=90°，即△PBC为直角三角形，
∴∠C+∠B=90°，
∵F为BC的中点，
∴PF=CF=BF，
∴∠C=∠CPF，
又∵∠CPF=∠DPE，
∴∠C=∠DPE，
∴∠DPE+∠B=90°，
又∵∠B=∠D，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴∠PED=90°，即EF⊥AD；

（2）解：连接OB，OD，OP，过O作OH⊥CD，OQ⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴四边形PHOG为矩形，
∴H、Q分别为CD、AB的中点，
∴QB=4，HD=3，
在Rt△OHD中，HD=3，OD=2

5

，
根据勾股定理得：OH=PQ=

OD2-HD2

=

11

，
在Rt△OBQ中，OB=2

5

，QB=4，
根据勾股定理得：OQ=PH=

OB2-QB2

=2，
在Rt△OPH中，PH=2，OH=

11

，
根据勾股定理得：OP=

PH2+OH2

=

15

．
（1）证明：∵AB⊥CD，
∴∠CPB=90°，即△PBC为直角三角形，
∴∠C+∠B=90°，
∵F为BC的中点，
∴PF=CF=BF，
∴∠C=∠CPF，
又∵∠CPF=∠DPE，
∴∠C=∠DPE，
∴∠DPE+∠B=90°，
又∵∠B=∠D，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴∠PED=90°，即EF⊥AD；

（2）解：连接OB，OD，OP，过O作OH⊥CD，OQ⊥AB，
∵AB⊥CD，
∴四边形PHOG为矩形，
∴H、Q分别为CD、AB的中点，
∴QB=4，HD=3，
在Rt△OHD中，HD=3，OD=2

5

，
根据勾股定理得：OH=PQ=

OD2-HD2

=

11

，
在Rt△OBQ中，OB=2

5

，QB=4，
根据勾股定理得：OQ=PH=

OB2-QB2

=2，
在Rt△OPH中，PH=2，OH=

11

，
根据勾股定理得：OP=

PH2+OH2

=

15

．