试题

如图，A为圆O上半圆上的一个三等分点，B是AM的中点，P为直径MN上的一动点，圆O的半径为1，
求AP+BP的最小值．

解：作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC，连接CE．
根据垂径定理得弧BM=弧ME．
∵A是半圆的三等分点，
∴∠AOM=60°，∠MOE=

1

2

∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又AC为圆的直径，∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=

2

2

AC=

2

，
即AP+BP的最小值是

2

．
解：作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC，连接CE．
根据垂径定理得弧BM=弧ME．
∵A是半圆的三等分点，
∴∠AOM=60°，∠MOE=

1

2

∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又AC为圆的直径，∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=

2

2

AC=

2

，
即AP+BP的最小值是

2

．