试题

如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．
（1）求证：AC平分∠OAB；
（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．
①若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长；
②若AB=10，OA=13，请直接写出OP的长．

（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；

（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴AE=BE=

1

2

AB=1，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=

3

AE=

3

，
∵AB∥OC．
∴

PE

OP

=

OC

AE

，即

PE

OP

=

1

2

，
∴

PE

OE

=

1

3

，
∴PE=

1

3

OE=

3

3

；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE=

132-52

=12，
∵AB∥OC．
∴

OP

PE

=

OC

AE

，
∴

OP

OE

=

13

13+5

，
∴OP=

13

18

×12=

26

3

．
（1）证明：∵AB∥OC，
∴∠C=∠BAC；
∵OA=OC，
∴∠C=∠OAC，
∴∠BAC=∠OAC，
即AC平分∠OAB；

（2）解：①∵OE⊥AB，AB=2，
∴AE=BE=

1

2

AB=1，
又∵∠AOE=30°，∠OEA=90°，
∴OE=

3

AE=

3

，
∵AB∥OC．
∴

PE

OP

=

OC

AE

，即

PE

OP

=

1

2

，
∴

PE

OE

=

1

3

，
∴PE=

1

3

OE=

3

3

；
②∵AB=10，
∴AE=5，
在Rt△OAE中，OA=13，OE=

132-52

=12，
∵AB∥OC．
∴

OP

PE

=

OC

AE

，
∴

OP

OE

=

13

13+5

，
∴OP=

13

18

×12=

26

3

．