试题

题目：
青果学院如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．
答案
青果学院解：若△APQ与△AOB相似，有两种情况．
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10．设Q点的坐标是（x，y）．
（1）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
AP
AO
=
AQ
AB
，
t
6
=
10-2t
10
，即t=
30
11
s，
∴AP=
30
11
，
∴OP=0A-AP=
36
11
．
∴BQ=
60
11
，
∴x=OB-BQ·cosB=8-
60
11
×
8
10
=
40
11
，
过Q作QC⊥OB于C，
y=QC=QBsinB=
36
11
，
P（0，
36
11
），Q（
40
11
，
36
11
）

（2）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
∴
AP
AO
=
AQ
AB
，即
t
6
=
10-2t
10
，
解得：t=
30
11
，
∴AP=
30
11
，OP=OA-AP=
36
11
，
∴BQ=
60
11
，
∴x=OB-BQ·cosB=8-
60
11
×
8
10
=
40
11
，y=QBsinB=
60
11
×
6
10
=
36
11
．
所以P（0，
36
11
），Q（
40
11
，
36
11
），
当P与B对应时，△APQ∽△ABO，
∴
AP
AB
=
AQ
AO
，即
t
10
=
10-2t
6
，
解得：t=
50
13
，
∴AP=
50
13
，OP=OA-AP=
28
13
．
∴BQ=
100
13
，
∴x=OB-BQ·cosB=8-
100
13
×
8
10
=
24
13
，y=QBsinB=
100
13
×
6
10
=
60
13
．
所以P（0，
28
13
）Q（
24
13
，
60
13
），
综上，P（0，
36
11
），Q（
40
11
，
36
11
）或者P（0，
28
13
）Q（
24
13
，
60
13
）．
青果学院解：若△APQ与△AOB相似，有两种情况．
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10．设Q点的坐标是（x，y）．
（1）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
AP
AO
=
AQ
AB
，
t
6
=
10-2t
10
，即t=
30
11
s，
∴AP=
30
11
，
∴OP=0A-AP=
36
11
．
∴BQ=
60
11
，
∴x=OB-BQ·cosB=8-
60
11
×
8
10
=
40
11
，
过Q作QC⊥OB于C，
y=QC=QBsinB=
36
11
，
P（0，
36
11
），Q（
40
11
，
36
11
）

（2）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
∴
AP
AO
=
AQ
AB
，即
t
6
=
10-2t
10
，
解得：t=
30
11
，
∴AP=
30
11
，OP=OA-AP=
36
11
，
∴BQ=
60
11
，
∴x=OB-BQ·cosB=8-
60
11
×
8
10
=
40
11
，y=QBsinB=
60
11
×
6
10
=
36
11
．
所以P（0，
36
11
），Q（
40
11
，
36
11
），
当P与B对应时，△APQ∽△ABO，
∴
AP
AB
=
AQ
AO
，即
t
10
=
10-2t
6
，
解得：t=
50
13
，
∴AP=
50
13
，OP=OA-AP=
28
13
．
∴BQ=
100
13
，
∴x=OB-BQ·cosB=8-
100
13
×
8
10
=
24
13
，y=QBsinB=
100
13
×
6
10
=
60
13
．
所以P（0，
28
13
）Q（
24
13
，
60
13
），
综上，P（0，
36
11
），Q（
40
11
，
36
11
）或者P（0，
28
13
）Q（
24
13
，
60
13
）．
考点梳理
相似三角形的判定；坐标与图形性质．
若△APQ与△AOB相似，则因为A与A对应，所以只有两种情况，P与O对应或者P与B对应．
判断△APQ与△AOB相似有两种情况是做本题的关键．
动点型；分类讨论．
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