试题

如图，在正五边形ABCDE中，对角线AD、AC与EB分别相交于点M、N．下列命题：①四边形EDCN是菱形；②四边形MNCD是等腰梯形；③△AEN与△EDM全等；④△AEM与△CBN相似；⑤点M是线段AD、BE、NE的黄金分割点，其中假命题有（　　）
A．0个
B．1个
C．2个
D．4个

B
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC=CD=DE=AE，BE∥CD，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=BE，
∴四边形EDCN是菱形，故①正确；
∵AC=AD，
∴∠NCD=∠MDC，
∴四边形MNCD是等腰梯形，即②正确；
∵△AEB≌△EDA（SSS），
∴∠AEN=∠EDM，AE=ED，
由①②可得MD=CN=NE，
在△AEN和△EDM中，

AE=ED ∠AEN=∠EDM DM=EN

，
∴△AEN≌△EDM（SAS）．
△AEM为钝角三角形，△CBN为锐角三角形，则△AEM与△CBN不相似，故④错误；
易得△AME∽△AED、△EMA∽△EAB，△AMN∽△EAN，
故

AM

AE

=

AE

AD

，即

AM

MD

=

AE

AD

，则点M是线段AD的黄金分割点；

EM

AE

=

AE

BE

，即

EM

AE

=

AE

BE

，即

EM

BM

=

BM

BE

，则点M是线段BE的黄金分割点；

MN

AN

=

AN

NE

，即

MN

ME

=

ME

NE

，则点M是线段NE的黄金分割点；
故⑤正确．
综上可得假命题只有④，共1个．
故选B．