试题

题目：
青果学院如图，E、D分别是等边三角形ABC的AB、AC边上的点，且D为AC的中点，
AE
EB
=
1
3
，则和△AED（不包含△AED）相似的三角形有（　　）



答案
B
青果学院解：如右图所示，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，
∵
AE
BE
=
1
3
，
∴
AE
AB
=
1
4
，
又∵D是AC中点，
∴AD=
1
2
AC，
∴
AD
AB
=
1
2
，
∴
AE
AD
=
1
2
，
∵
AD
AB
=
AE
AD
，∠A=∠A，
∴△ADB∽△AED；
∵
CD
BC
=
1
2
，∠C=∠A，
∴△CDB∽△AED；
又∵D是AC中点，△ABC是等边三角形，
∴∠ADB=∠CDB=90°，∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠AED=90°，∠ADE=30°，
∴∠BED=90°，
∴△AED∽△DEB．
故选B．
考点梳理
相似三角形的判定；等边三角形的性质．
由于△ABC是等边三角形，那么∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC，根据
AE
EB
=
1
3
易求
AE
AB
=
1
4
，而D是AC中点，易得
AD
AB
=
1
2
，从而有
AD
AB
=
AE
AD
，结合∠A=∠A，可证△ADB∽△AED；同理易证△CDB∽△AED；再利用D是AC中点，△ABC是等边三角形，根据等腰三角形三线合一定理可求∠ADB=∠CDB=90°，∠ABD=∠CBD=30°，从而易求∠AED=90°，∠ADE=30°，∠BED=90°，那么可证△AED∽△DEB．
本题考查了相似三角形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形三线合一定理．注意相似三角形判定定理的灵活运用，解题的关键是计算AE：AD的值以及求∠ADB．
证明题．
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