试题

题目：
青果学院（2005·湘潭）如图，已知
AB
=
AC
，∠APC=60度．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．
答案
青果学院（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又
AB
=
AC
，
∴∠ACB=∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形；

（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵△ABC为等边三角形，点O△ABC的内心，
∴OC是∠ACB的平分线，
∴∠OCD=30°，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
∴OC=
DC
cos30°
=
2
3
2
=
4
3
=
4
3
3
，
∴S⊙O=π·OC2=
16
3
π(cm2)．
青果学院（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，
又
AB
=
AC
，
∴∠ACB=∠ABC=60°
∴△ABC为等边三角形；

（2）解：连接OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，
∵△ABC为等边三角形，点O△ABC的内心，
∴OC是∠ACB的平分线，
∴∠OCD=30°，
在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，
∴OC=
DC
cos30°
=
2
3
2
=
4
3
=
4
3
3
，
∴S⊙O=π·OC2=
16
3
π(cm2)．
考点梳理
等边三角形的判定；圆周角定理．
（1）根据等弧对等弦和等弧所对的圆周角相等，证明得到有一个角是60度的等腰三角形即是等边三角形；
（2）根据等边三角形的性质构造一个30度的直角三角形，运用垂径定理和锐角三角函数计算．
熟练掌握圆周角定理的推论和等弧对等弦，掌握等边三角形的性质和判定．
几何综合题；压轴题．
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