试题

题目：
青果学院如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧ACB的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E，若AE=10，∠ACB=60°，求BC的长．
答案
解：∵D是
ABC
的中点，
∴DA=DB．
∵∠ACB=60°，
∴∠ADB=60°，
∴△ADB是等边三角形．
∴∠DAB=∠DBA=60°．
∴∠DCB=∠DAB=60°．
∵DE∥BC，
∴∠E=∠ACB=60°．
∴∠DCB=∠E．     
∵∠ECD=∠DBA=60°，
∴△ECD是等边三角形．
∴ED=CD．                         
∵
CD
=
CD
，
∴∠EAD=∠DBC．                     
在△EAD和△CBD中，
∠E=∠DCB
∠EAD=∠CBD
ED=CD
，
∴△EAD≌△CBD（AAS）．                   
∴BC=EA=10．
解：∵D是
ABC
的中点，
∴DA=DB．
∵∠ACB=60°，
∴∠ADB=60°，
∴△ADB是等边三角形．
∴∠DAB=∠DBA=60°．
∴∠DCB=∠DAB=60°．
∵DE∥BC，
∴∠E=∠ACB=60°．
∴∠DCB=∠E．     
∵∠ECD=∠DBA=60°，
∴△ECD是等边三角形．
∴ED=CD．                         
∵
CD
=
CD
，
∴∠EAD=∠DBC．                     
在△EAD和△CBD中，
∠E=∠DCB
∠EAD=∠CBD
ED=CD
，
∴△EAD≌△CBD（AAS）．                   
∴BC=EA=10．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系．
由D是弧ACB的中点，DE∥BC，∠ACB=60°，易得△ADB与△ECD是等边三角形，继而证得△EAD≌△CBD，即可证得结论．
此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
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