试题

题目：
青果学院如图，已知A、B两点的坐标分别为（4
3
，0）、（0，4），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的纵坐标为（　　）



答案
D
青果学院解：∵OB=4，OA=4
3
，
∴AB=
OA2+OB2
=8，
∵∠AOP=45°，
P点横纵坐标相等，可设P（a，a）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，设为点C，则C（2
3
，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径4．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-2，CF=a-2
3
，PC=4，
∴(a-2
3
)2+（a-2）2=42，舍去不合适的根，
可得a=2+2
3
，P（2+2
3
，2+2
3
）；
即P点坐标为（2
3
+2，2
3
+2）．
故选：D．
考点梳理
圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理．
由P点在第一象限，∠AOP=45°，可设P（a，a）．过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，用含a的代数式分别表示PF，CF，在△CFP中由勾股定理求出a的值，即可求得P点的坐标．
此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．
计算题；压轴题．
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