试题

题目：
青果学院如图，△ABC内接于⊙O，其外角平分线AD交⊙O于D，DM⊥AC于M，下列结论：其中正确的有（　　）
①DB=DC；②AC-AB=2AM；③AC+AB=2CM；④S△ABD=2S△CDB．



答案
B
青果学院解：过点D作DF⊥BE，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠FAD=∠BCD，
∵外角平分线AD交⊙O于D，
∴∠FAD=∠DAC，
又∠DBC=∠DAC，
∴∠BCD=∠CBD，
∴①DB=DC，是正确的；
∵AD外角平分线，DF⊥BE，DM⊥AC于M，
∴DF=DM，
又∠DFA=∠DMC=90°，∠ABD=∠ACD，
∴Rt△BFD≌Rt△CMD，
∴BF=CM，
又AF=AM，
∴②AC-AB=CM+AM-AB=CM+AM-CM+AF=CM+AM-CM+AM=2AM，正确；
∴③AC+AB=AM+MC+BF-FA=AM+MC+MC-AM=2CM，正确；
无法证明④是正确的．
故选B．
考点梳理
圆周角定理；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．
由A、B、C、D四点共圆，可得∠FAD=∠BCD，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得∠BCD=∠CBD，可得BD=CD；过点D作DF⊥BE，可以通过证明三角形全等，通过边的关系可以得到②AC-AB=2AM，③AC+AB=2CM都是正确的；而没有理由证明④是正确的．
本题考查了圆周角、三角形的外角的性质及全等三角形的判定与性质；作出辅助线，利用三角形全等是正确解答本题的关键．
几何图形问题；压轴题．
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