试题

如图，△ABC内接于⊙O，CD平分△ABC的外角∠BCM，交⊙O于点D，连接AD，BD．
（1）求证：AD=BD；
（2）若AB=6，sin∠ACB=

3

5

，C为弧AD的中点，连接DO，并延长交BC于点E，求OE的长．

（1）证明：∵CD平分△ABC的外角∠BCM，
∴∠MCD=∠DCB，
∵∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD；
（2）解：延长DO交AB于F，连结OA、OC交AD于P，作EH⊥AD于H，如图，
∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴AF=

1

2

AB=3，
∵∠ACB=∠AOF，
∴sin∠AOF=sin∠ACB=

AF

AO

=

3

5

，
∴OA=5，
在Rt△OPA中，OF=

52-32

=4，
在Rt△AFD中，AD=

AF2+DF2

=3

10

∵C为弧AD的中点，
∴OP垂直平分AD，PD=

3 10

2

，∠ABC=∠DBC，
∴点E为△ABC的内心，
∴AE平分∠DAB，
∴EH=EP，
在Rt△DPO中，OP=

DO2-DP2

=

10

2

，
∵OP∥EH，
∴△DOP∽△DEH，
∴

DO

DE

=

OP

EH

，即

5

5+OE

=

10 2

4-OE

，
∴OE=5-

10

．
（1）证明：∵CD平分△ABC的外角∠BCM，
∴∠MCD=∠DCB，
∵∠DCB=∠DAB，∠MCD=∠DBA，
∴∠DAB=∠DBA，
∴AD=BD；
（2）解：延长DO交AB于F，连结OA、OC交AD于P，作EH⊥AD于H，如图，
∵DA=DB，
∴DF垂直平分AB，
∴AF=

1

2

AB=3，
∵∠ACB=∠AOF，
∴sin∠AOF=sin∠ACB=

AF

AO

=

3

5

，
∴OA=5，
在Rt△OPA中，OF=

52-32

=4，
在Rt△AFD中，AD=

AF2+DF2

=3

10

∵C为弧AD的中点，
∴OP垂直平分AD，PD=

3 10

2

，∠ABC=∠DBC，
∴点E为△ABC的内心，
∴AE平分∠DAB，
∴EH=EP，
在Rt△DPO中，OP=

DO2-DP2

=

10

2

，
∵OP∥EH，
∴△DOP∽△DEH，
∴

DO

DE

=

OP

EH

，即

5

5+OE

=

10 2

4-OE

，
∴OE=5-

10

．