试题

题目：
青果学院如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于E，弦CF⊥AD于H交AB于G，下列结论：①BE=EG，②DF+HF=CH，③
AC
+
DF
=
AF
+
CD
，其中正确结论的个数有（　　）



答案
D
解：连接DG、BC，如图青果学院
∵CD⊥AB，CF⊥AD，
∴∠GED=∠GHD=90°，
∴∠4=∠ADE，
而∠5=∠ADE，
∴∠5=∠4，
∴CB=CG，即△CBG为等腰三角形，
而CE⊥GB，
∴BE=GE，所以①正确；
∵CD⊥AB，
∴BC弧=BD弧，CE=DE，
∴BD=BC，
∵CE为等腰三角形CBG的底边上的高，
∴∠1=∠ECB，
∴DF弧=DB弧，
∴DB=DF，
∴CG=CB=BD=DF，
∵AB垂直平分CD，
∴GC=GD，
∴DG=DF，
而CF⊥AD，
∴HF=HG，
∴DF+HF=CG+GH=CH，所以②正确；
∵CD⊥AB，
∴
AC
=
AD
，
∴
AC
+
DF
=
AD
+
DF
=
AF
+2
DF
，
∵BC=BD=DF，
∴
BC
=
BD
=
DF
，即
CD
=2
DF
，
∴
AC
+
DF
=
AF
+
CD
，所以③正确．
故选D．
考点梳理
圆周角定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；垂径定理．
由CD⊥AB，CF⊥AD得到∠GED=∠GHD=90°，根据四边形内角和定理和邻补角的定义可得到∠4=∠ADE，利用圆周角定理得到∠5=∠ADE，则∠5=∠4，可判断△CBG为等腰三角形，利用等腰三角形的性质得到BE=GE；再根据垂径定理得由CD⊥AB得BC弧=BD弧，CE=DE，则BD=BC，利用等腰三角形的性质得到∠1=∠ECB，得DF弧=DB弧，则有DB=DF，即CG=CB=BD=DF，利用垂径定理得到AB垂直平分CD，则GC=GD，代换得DG=DF，由CF⊥AD，根据等腰三角形性质得HF=HG，则DF+HF=CG+GH=CH；根据垂径定理易得
AC
=
AD
，则
AC
+
DF
=
AD
+
DF
=
AF
+2
DF
，由BC=BD=DF得到
BC
=
BD
=
DF
，即
CD
=2
DF
，于是
AC
+
DF
=
AF
+
CD
．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半．也考查了垂径定理和等腰三角形的判定与性质．
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