试题

如图所示，⊙O′过点O，A，B，O（0，0），A（0，2），B（2，0），圆上一动点P．
（1）求∠OPB；（2）当P到OB距离最远时，求P点坐标及△POB的面积．

解：（1）∠OPB=∠OAB，∵AB是⊙O直径，
∴∠AOB=90°，AO=OB=2，∠OAB=45°，∠OAB=∠OPB=45°．

（2）如图，当P运动到距离OB最高时，
作OB中垂线交⊙O于P，N，交OB于C，PC＞NC，PC最长．
∵AB=

22+22

=2

2

．OC=

1

2

OB=

1

2

×2=1．∴O′C=

( 2 )2-12

=1，
∴P（1，1+

2

）．S_△OPB=

1

2

·PC·OB=

1

2

×2×（1+

2

）=1+

2

．
解：（1）∠OPB=∠OAB，∵AB是⊙O直径，
∴∠AOB=90°，AO=OB=2，∠OAB=45°，∠OAB=∠OPB=45°．

（2）如图，当P运动到距离OB最高时，
作OB中垂线交⊙O于P，N，交OB于C，PC＞NC，PC最长．
∵AB=

22+22

=2

2

．OC=

1

2

OB=

1

2

×2=1．∴O′C=

( 2 )2-12

=1，
∴P（1，1+

2

）．S_△OPB=

1

2

·PC·OB=

1

2

×2×（1+

2

）=1+

2

．