试题

题目：
青果学院如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=10，求弦AC的长．
答案
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠D=∠C=30°，
∴Rt△BAD中，BD=2AB，
又∵Rt△BAD中，AB2+AD2=BD2，AD=10，
∴AB2+100=4AB2，
解得：AB=
10
3
3
，
∴AC=AB=
10
3
3
．
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=30°，
∴∠D=∠C=30°，
∴Rt△BAD中，BD=2AB，
又∵Rt△BAD中，AB2+AD2=BD2，AD=10，
∴AB2+100=4AB2，
解得：AB=
10
3
3
，
∴AC=AB=
10
3
3
．
考点梳理
圆周角定理；勾股定理．
由BD为⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠BAD=90°，又由∠BAC=120°，AB=AC，即可求得∠C的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠D的度数，又由勾股定理，即可求得AB的长，即可得弦AC的长．
此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用．
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